12.6.5 Высшая математика

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) Задано вещественное число \( a \neq-1 \). Определим последовательность \( x_{n} \) так: \( x_{1}=a, x_{n+1}=x_{n}^{2}+x_{n}, n \geq 1 \). Так же определим последовательность \( y_{n} \), а так же сумму и произведение ее первых \( n \) элементов: \( y_{n}=\frac{1}{1+x_{n}}, \quad S_{n}=\sum_{k=1}^{n} y_{k}, \quad p_{n}=\prod_{k=1}^{n} y_{k} \). Доказать, что \( a \cdot S_{n}+p_{n}=1, \forall n \geq 1 \).