1.7.12 Линейные преобразования

условие: 1) Доказать, что \( \widehat{A}- \) линейный оператор в пространстве \( \mathbb{P}_{n} \) многочленов степени не выше \( n \). 2) Найти его матрицу в каноническом базисе. 3) Существует ли обратный оператор к \( \widehat{\mathrm{A}} \) ? Если да, то найдите его матрицу в том же базисе. 4) Найдите ядро оператора \( \widehat{A} \), то есть множество \( \operatorname{Ker} \widehat{\mathrm{A}}=\left\{p(t) \in, \mathbb{P}_{n}:(\widehat{\mathrm{A}} p)(t) \equiv 0\right\} \). \[ n=3, \quad(\widehat{\mathrm{A}} p)(t)=t \cdot p^{\prime}(t+1) \]