1.6.83 Поля, группы, кольца

условие: Комплексные матрицы размера \( 2 \times 2 \) \( \sigma_{1}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \quad \sigma_{2}=\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\ i & 0\end{array}\right), \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) \quad \) называются матрицами Паули. Обозначим \( E=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \). a) Докажите, что множество \( Q_{8}=\left\{ \pm E, \pm i \sigma_{1}, \pm i \sigma_{2}, \pm i \sigma_{3}\right\} \) группа относительно операции умножения матриц. b) Найдите порядок всех элементов группы \( Q_{8} \). Покажите, что \( Q_{8} \) не цикличная группа. c) Найдите все подгруппы в \( Q_{8} \). d) Найдите все нормальные подгруппы в \( Q_{8} \).