12.1.1 Олимпиадная геометрия

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) На сторонах треугольника \( A B C \) отмечены точки \( A_{1} \in[B C] \), \( A_{2} \in\left[A_{1} C\right], B_{1} \in[C A], B_{2} \in\left[B_{1} A\right] \) \( C_{1} \in[A B], C_{2} \in\left[C_{1} B\right] \), для которых \( \frac{C A_{1}}{B C}=\frac{C B_{2}}{C A}=\frac{B C+C A}{A B+B C+C A}, \quad \frac{A B_{1}}{C A}=\frac{A C_{2}}{A B}=\frac{C A+A B}{A B+B C+C A^{\prime}} \), \( \frac{B C_{1}}{A B}=\frac{B A_{2}}{B C}=\frac{A B+B C}{A B+B C+C A} \). Докажите, что точки пересечения прямых \( A_{1} C_{2}, C_{1} B_{2} \) и \( B_{1} A_{2} \) лежат на описанной окружности треугольника \( A B C \).