1.7.13 Линейные преобразования

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) Оператор \( \widehat{\mathrm{A}} \) действует в пространстве матриц, образующих линейное подпространство \( M \) в пространстве всех квадратных матриц второго порядка. 1) Доказать, что \( \widehat{\mathrm{A}} \) - линейный оператор. 2) Найти матрицу оператора \( \widehat{\mathrm{A}} \) в каком нибудь базисе пространства \( M \). 3) Найти собственные значения и собственные векторы оператора \( \widehat{A} \) (напомним, что в данном случае векторами являются матрицы). 4) Доказать, что \( \widehat{A} \) - оператор простого типа, указать базис из собственных векторов. \[ \widehat{\mathrm{A}} X=B X-X B, B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), M=\left\{X=\left(\begin{array}{ll} x & y \\ u & v \end{array}\right): x+v=0\right\} \]