12.5.11 Олимпиадная алгебра

условие: Пусть для последовательности \( \left\{x_{n}\right\} \) \[ \begin{array}{l} x_{n}=\sqrt{a_{1}+\sqrt{a_{2}+\cdots+\sqrt{a_{n}}}}, \quad a_{i}>1, i=1,2, \ldots \\ \text { и } \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n} \ln \left(\ln a_{n}\right)\right)<\ln 2 . \end{array} \] Доказать, что \( x_{n} \) сходится.