15.1.2 Теория случайных процессов

\( \underline{\text { условие: }} \) Пусть \( S_{0}=0, S_{k}=\xi_{1}+\cdots+\xi_{k}, 1 \leq k \leq n \), где \( \xi_{1}, \ldots, \xi_{k}- \) независимые нормально распределённые, \( \mathcal{N}(0,1) \), случайные величины. Пусть \[ \phi(x)=P\left\{\xi_{1} \leq x\right\}, \mathcal{F}_{k}=\sigma\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{k}\right), 1 \leq k \leq n, \mathcal{F}_{0}=\{\emptyset, \Omega\} \] Показать, что для любого \( a \in R \) последовательность \( X=\left(X_{k}, \mathcal{F}_{k}\right)_{0 \leq k \leq n} \) с \( X_{k}=\phi\left(\frac{a-S_{k}}{\sqrt{n-k}}\right) \) является мартингалом.