12.2.66 Теория чисел

Пусть рациональное число ( m / n ) меньше единицы. Докажите, что ( i- ) ая цифра его десятичной записи ( 0, overline{a_{0} a_{1} a_{2} a_{3} cdots} ) вычисляется по формуле: ( a_{i}=left(left(left(m cdot 10^{i} ight) mod n ight) cdot 10 ight) / n, quad ) где последняя операция деления подразумевается целочисленной. Докажите, что при делении уголком всегда получится конечная десятичная дробь или периодическая бесконечная. Придумайте алгоритм преобразования произвольной периодической десятичной дроби в рациональное число.