10.6.17 Аналитические функции

условие: a) Точка \( z_{0} \in \mathbb{C} \) является нулём кратности \( m \) аналитической в \( z_{0} \) функции \( f(z) \) тогда и только тогда, когда \( f(z) \) может быть представлено в виде \( f(z)=\left(z-z_{0}\right)^{m} \cdot \varphi(z) \), где \( \varphi(z) \), аналитична в \( z_{0} \), и \( \varphi\left(z_{0}\right) \neq 0 \).. б) Пусть нулями функции \( f(z) \) служат \( z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C} \), с порядками соответственно \( m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n} \in \mathbb{N} \), и \( f(z) \) аналитична в точках \( z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}\left(z_{i} \neq z_{j}, i \neq j\right) \). Тогда \( f(z) \) представима в виде \( f(z)=\left(z-z_{1}\right)^{m^{1}}\left(z-z_{2}\right)^{m^{2}} \cdot \ldots \cdot(z- \) \( \left.-z_{n}\right)^{m_{n}} \cdot \varphi(z) \), где \( \varphi\left(z_{i}\right) \neq 0, i=\overline{1, n} \) и \( \varphi(z) \) аналитична в точках \( z_{1}, \ldots, z_{n} \).