1.4.20 Преобразования матриц

В пространстве ( mathbb{V}_{3} ) геометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базиса ( S_{1}=left{e_{1}, e_{2}, e_{3} ight} ) заданы координатами в базисе ( i, j, k ). 1) Найдите матрицу Грама ( G_{1} ) скалярного произведения в этом базисе. Выпишите формулу для длины вектора через его координаты в базисе ( S_{1} ). 2) Ортогонализируйте базис ( S_{1} ). Сделайте проверку ортонормированности построенного базиса ( S_{2} ) двумя способами: a) выписав координаты вектора из ( S_{2} ) в каноническом базисе ( i, j, k ). б) убедившись, что преобразование матрицы Грама при переходе от базиса ( S_{1} ) к базису ( S_{2} ) (по формуле ( G_{2}=P^{T} G_{1} P ), где ( P )-матрица перехода от базиса ( S_{1} ) к базису ( S_{2} ) ) приводит к единичной матрице. ( e_{1}=(1,0,2), quad e_{2}=(2,1,1), quad e_{3}=(1,1,0) ).