19.3.16 Линейные операторы

условие: Дан оператор \[ A x(t)=3 x(t)+(7 t-3) x^{\prime}(t)+\int_{0}^{t}(4 s-3) x^{\prime \prime}(s) d s \] в пространстве \( P^{2} \) многочленов степени \( \leq 2 \). Проверьте, что \( A ; P^{2} \rightarrow P^{2} \) линейный оператор и найдите: a) матрицу этого оператора в каноническом базисе \( \left\{1, t, t^{2}\right\} \) б) матрицу этого оператора в базисе \[ \left\{1-2 t, 3 t+t^{2}, 2+3 t^{2}\right\} \] в) ядро \( \operatorname{Ker} A \) оператора \( A \); г) ядро \( \operatorname{Ker} A \) оператора \( A: C^{2}[0,1] \rightarrow C^{2}[0,1] \).