19.3.31 Линейные операторы

условие: 1) Доказать, что оператор \( \hat{A} \) является линейным оператором в пространстве \( P_{n} \) многочленов степени не выше \( n \), 2) Найти матрицу оператора \( \hat{A} \) в каноническом базисе \( P_{n} \), 3) Существует ли обратный оператор \( \hat{A}^{-1} \) ? Если да, найти его матрицу, 4) Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора \( \hat{A} \). \[ n=2, \quad(\hat{A} P) t=\frac{d}{d t}[t p(t+1)] \]