Алгебраические

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

условие: Решить неравенство: \[ \frac{\sqrt{x}}{x-2} \leq 3 \sqrt{x} \]

12.3.1.1 Алгебраические

30 ₽

Условие: Какое наибольшее значение может принять выражение \[ \left(1-a^{2}\right) \sqrt{1-b^{2}}-\left(1-b^{2}\right) \sqrt{1-a^{2}} \]

12.3.1.2 Алгебраические

100 ₽

условие: Известно, что \( 0

12.3.1.3 Алгебраические

150 ₽

Условие: Пусть \( a_{n}- \) последовательность положительных чисел, для которых выполняется неравенство \[ a_{n}^{2}

12.3.1.4 Алгебраические

150 ₽

Найти максимальное значение параметра \( a \), при котором система имеет решение: \[ \left\{\begin{array}{l} 4 \sin ^{2} y-a=16 \sin ^{2} \frac{2 x}{7}+9\left(\tan ^{-1}\right) \frac{2 x}{7} \\ \left(\pi^{2} \cos ^{2} 3 x-2 \pi^{2}-72\right) y^{2}=2 \pi^{2}\left(1+y^{2}\right) \sin 3 x \end{array}\right. \]

12.3.1.5 Алгебраические

150 ₽

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) По кругу выписано 4399 необязательно различных положительных чисел \( v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{4399} \). Для любых четырех чисел \( h, k, z \) и \( p \), стоящих подряд в указанном порядке по часовой стрелке, выполняется неравенство \[ 1,6(h+k) \geq \frac{1}{z}+\frac{1}{p} \] Чему равно наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел? Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

12.3.1.6 Алгебраические

250 ₽

Условие: Найдите сумму натуральных значений параметра \( a \), при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение \[ \left\{\begin{array}{c} \sqrt{(x+a)^{2}+(y+3)^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(y-a)^{2}}=\sqrt{2 a^{2}+14 a+25} \\ y=a^{2}-5 a-7 \end{array}\right. \]

12.3.1.7 Алгебраические

120 ₽

Найдите сумму натуральных значений параметра \( a \), при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение \[ \left\{\begin{array}{c} \sqrt{(x-a)^{2}+(y+3)^{2}}+\sqrt{(x+2)^{2}+(y-a)^{2}}=\sqrt{2 a^{2}+10 a+13} \\ y=a^{2}-4 a-6 \end{array}\right. \]

12.3.1.8 Алгебраические

120 ₽

Условие: Рассмотрим неравенство \[ \left|\log _{2} x\right| \cdot \frac{x^{2}-2 x-a}{(10 x-3 a-16)^{2}} \ldots 0 \] Какой знак неравенства \( (<,>, \leq \) или \( \geq) \) должен стоять в место многоточия, чтобы хотя бы при одном значении параметра \( a \) решением неравенства относительно \( x \) был интервал (непустое открытое связное ограниченное множество на числовой прямой)? Найдите сумму всех целых значений параметра \( a \), при которых решение этого неравенства с выбранным знаком является интервалом.

12.3.1.9 Алгебраические

100 ₽

Условие: Докажите, что для произвольных положительных действительных чисел \( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \) выполняется неравенство: \[ \frac{n}{\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+\cdots+\frac{1}{1+a_{n}}}-\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}} \geq 1 \]

12.3.1.10 Алгебраические

200 ₽

Условие: Найти максимум и минимум выражения \[ x^{2 n}+y^{2 n} \text {, если } x^{2}+y^{2}=1, n \in \mathbb{N} \text {. } \]

12.3.1.11 Алгебраические

200 ₽

условие: Доказать неравенство для любого натурального \( n \) : \[ \frac{4^{n}}{(n+1)}<\frac{(2 n) !}{(n !)^{2}} \]

12.3.1.12 Алгебраические

100 ₽

условие: Покажите, что произведение суммы любых двух положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 4.

12.3.1.13 Алгебраические

50 ₽