Свойства норм. пространств

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Пусть \( X-n- \) мерное пространство. Является ли \( \left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\cdots+\left|x_{n}\right|(x= \) \( \left.\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in X\right) \) нормой в \( X \) ?

19.2.1.1 Свойства нормированные пространств

100 ₽

Будут ли функции \( \|x\|_{1}=\int_{0}^{1}|x(t)| d t \) и \( \|x\|_{2}=\int_{0}^{1} e^{t}|x(t)| d t \) нормами в пространстве \( C([0,1]) \) ? Если да, то будут ли эти нормы эквивалентными в данном пространстве.

19.2.1.2 Свойства нормированные пространств

100 ₽

Будет ли \( \|x\|=2\left|x_{1}\right|+3\left|x_{2}\right|\left(x=\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \) нормой в \( \mathbb{R}^{2} \) ?

19.2.1.3 Свойства нормированные пространств

100 ₽

На \( C^{1}[0 ; 1] \) заданы нормы: \[ \begin{array}{l} \|f\|_{1}=|f(0)|+\int_{0}^{1} t^{2}\left|f^{\prime}(t)\right| d t \\ \|f\|_{2}=\int_{0}^{1}|f(t)| d t+\int_{0}^{1} t^{2}\left|f^{\prime}(t)\right| d t \end{array} \] Верно ли, что одна из этих норм сильнее другой? Эквивалентны ли они?

19.2.1.4 Свойства нормированные пространств

250 ₽

условие: Доказать, что в евклидовом пространстве имеет место тождество Апполония: \[ 2\|z-x\|^{2}+2\|z-y\|^{2}=\|x-y\|^{2}+4\left\|z-\frac{x+y}{2}\right\|^{2} . \]

19.2.1.5 Свойства нормированные пространств

100 ₽

Условие: Покажите эквивалентность норм \( \|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2} \) и \( \|\cdot\|_{\infty} \quad \) в \( \quad \) конечномерном нормированном пространстве \( X \), т.е. найдите такие положительные константы \( c_{1} \) и \( c_{2} \), чтобы для любой пары норм \( \|\cdot\|^{\prime} \) и \( \|\cdot\|^{\prime \prime} \) выполнялось двойное неравенство \( c_{1}\|x\|^{\prime} \leq\|x\|^{\prime \prime} \leq c_{2}\|x\|^{\prime} \) для всех \( x \in X \).

19.2.1.6 Свойства нормированные пространств

100 ₽