Мера и интеграл Лебега

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Пусть \( \mu(A)<\infty . \quad \) Доказать, что неотрицательная функция \( f \) интегрируема по \( A \) тогда и только тогда, когда сходится ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \mu\left(A \cap\left\{x: f(x) \geq 2^{n}\right\}\right) \]

19.6.1.1 Мера и интеграл Лебега

300 ₽

Найдите плотность Радона-Никодима относительно меры Вычислить интеграл: \[ I=\int_{0}^{1} k(x) d k^{2}(x) \text {, где } k(x)-\text { функция Кантора. } \]

19.6.1.3 Мера и интеграл Лебега

70 ₽

Для заряда \( v_{F} \), построенного по функции \[ F(x)=\left\{\begin{array}{l} e^{x}, 0 \leq x \leq 2 \\ x^{2}, 2

19.6.1.4 Мера и интеграл Лебега

200 ₽

1) Найдите плотность Радона-Никодима относительно меры Лебега для заряда, построенного по функции [ F(x)=left{egin{array}{ll} 0, & ext { при } x<0 \ an ^{-1} x, quad ext { при } 0 leq x<1 \ frac{pi}{4} x, & ext { при } 1 leq x<4 \ pi, & ext { при } 4 leq x end{array} ight. ] 2) Найдите разложение Жордана для заряда, построенного по функции [ F(x)=left{egin{array}{ll} 0, & ext { при } x<0 \ an ^{-1} x, quad ext { при } 0 leq x<1 \ frac{pi}{4} x, & ext { при } 1 leq x<4 \ pi, & ext { при } 4 leq x end{array} ight. ] Какие множества можно взять в качестве ( X^{+}, X^{-} )в разложении Хана?

19.6.1.2 Мера и интеграл Лебега

300 ₽

условие: Пусть \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Доказать, что \[ \{x \in \mathbb{R}: f(x) \geq c\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{x \in \mathbb{R}: f(x) \geq c-\frac{1}{n}\right\} \text {. } \]

19.6.1.5 Мера и интеграл Лебега

100 ₽

\( \underline{\text { условие: }} \) Для заданной на отрезке \( [a, b] \) функции \( f \) : 1) доказать, что она является простой; 2) вычислить интеграл Лебега \( \int_{[a, b]} f(t) d t \), если он существует. \[ a=0, \quad b=1, \quad f(t)=\left[\frac{1}{\sqrt{t}}\right] \]

19.6.1.9 Мера и интеграл Лебега

100 ₽

Условие: По определению вычислить интеграл Лебега \( \int_{[a, b]} f(t) d t \) \[ a=0, \quad b=3, \quad f(t)=|t-1| \text {. } \]

19.6.1.10 Мера и интеграл Лебега

100 ₽

Условие: Пусть \( f \)-интегрируемая на множестве \( E \) функция, \( g, h \)-измеримые на \( E \). Что можно сказать об интегрируемости \( g, h \), если: \( f=g \cdot h \), \( g, h>0 \).

19.6.1.11 Мера и интеграл Лебега

100 ₽

Условие: Вычислить интеграл Лебега \( \int_{[0,1]} f(x) d \mu \) от функции \[ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x \cdot e^{x}, \quad x \in[0,1] \backslash Q \\ \tan ^{-1} \frac{1}{x+1}, & x \in Q \cap[0,1] \end{array}\right. \]

19.6.1.12 Мера и интеграл Лебега

150 ₽

условие: Пусть \( f \)-интегрируемая на \( X \) функция. Верно ли, что если \( \int_{X} f(t) d \mu=0 \), то \( f(t)=0 \) почти всюду?

19.6.1.13 Мера и интеграл Лебега

120 ₽

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) Для функции \( f:[a, b] \rightarrow R \) a) выяснить, является ли она ограниченной; б) найти меру множества точек разрыва; в) определить существует ли для неё собственный или несобственный интеграл Римана; г) выяснить, измерима ли \( f \); д) найти интеграл Лебега \( \int_{[a, b]} f(t) d t \), если он существует. \[ \begin{array}{l} a=-1, \quad b=1, \quad K-\text { множество Кантора, } \\ f(t)=\left\{\begin{array}{cc} n, & t \in\left(\frac{1}{3^{n+1}}, \frac{1}{3^{n}}\right) \backslash K, n \in \mathbb{N}, \\ & {\left[e^{t^{2}}\right], \quad t \in K,} \\ \frac{1}{\sqrt{1+t}}, & t \in\left([-1,0) \cup\left(\frac{1}{3}, 1\right)\right) \backslash K . \end{array}\right. \\ \end{array} \]

19.6.1.6 Мера и интеграл Лебега

200 ₽

Условие: Найти интеграл Лебега \( \int_{[0 ; 2]} f d \mu \quad \) от функции \( f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{5}, & \text { если } x \text { рациональное, } \\ x, & \text { если } x \text { иррациональное алгебраическое, } \\ x^{2}, & \text { если } x \text { трансцендентное. }\end{aligned}\right. \)

19.6.1.14 Мера и интеграл Лебега

150 ₽

\( \underline{\text { Условие: }} \) Интегрируема ли функция \( f \) на множестве \( (0 ; 1] ? \) \[ f(x)=(-1)^{n}(n+1), \text { если } x \in\left(\frac{1}{n+1} ; \frac{1}{n}\right] . \]

19.6.1.7 Мера и интеграл Лебега

150 ₽

Условие: Найти интеграл Лебега \[ \begin{array}{l} \int_{[0 ; \infty)} f d \mu \text { от функции } f(x)=\frac{1}{n^{2}(n+1)}, \\ \text { если } x \in[(n-1) n ; n(n+1)), n \in \mathbb{N} . \end{array} \]

19.6.1.8 Мера и интеграл Лебега

150 ₽