Тензорное исчисление

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

\( \mathrm{B} \mathbb{R}^{3} \) задан базис \( \mathcal{E}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} \) и три линейные формы координатной записью в \( \mathcal{E} \), образующие базис \( \mathcal{T}=\left\{f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)\right\} \) сопряженного пространства: \( e_{1}=(1 ; 3 ; 2), e_{2}=(1 ; 0 ; 1), e_{3}=(2 ;-1 ; 1) \); \( f_{1}(x)=2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}, f_{2}(x)=x_{1}+x_{2}+x_{3}, f_{3}(x)=3 x_{1}+x_{3} \). 1) Найти базис в \( \mathbb{R}^{3} \), взаимный с базисом \( \mathcal{T} \). 2) Записать в базисе \( \varepsilon \) базис \( e^{\prime}=\left\{e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}

1.11.1 Тензорное исчисление

300 ₽

Задан симметричный тензор: \( A_{i j}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right) \). Найти: 1) Собственные значения и собственные векторы тензора, 2) орты системы координат, связанной с главными осями тензора, 3) матрицу поворота к главным осям тензора, 4) инварианты тензора, 5) уравнение и тип характеристической поверхности тензора и изобразить ее.

1.11.2 Тензорное исчисление

350 ₽

\( a_{i k} u^{i} u^{k} \)-скаляр при любом выборе контравариантного вектора \( u^{i} \). Показать, что \( a_{(i k)}- \) тензор.

1.11.3 Тензорное исчисление

30 ₽

Найти тензор инерции для следующих однородных сплошных тел, предполагая, что центр вращения совпадает с центром инерции, а масса тел равна \( m \) : 1) Прямоугольная пластина со сторонами \( a, b \), 2) Шар радиуса \( R \).

1.11.4 Тензорное исчисление

150 ₽

Тензор типа \( (1,2) \) в базисе \( \mathcal{E}=\left\{e_{1}, e_{2}\right\} \) пространства \( V_{2} \) задан матрицей \[ A=\left(\begin{array}{ll|ll} -4 & 2 & 3 & 4 \\ -5 & 3 & 5 & 7 \end{array}\right), \text { где }\left\{\begin{array}{l} e_{1}^{\prime}=e_{1}-e_{2} \\ e_{2}^{\prime}=-e_{1}+2 e_{2} \end{array} .\right. \] Найти матрицу тензора в базисе \( \mathcal{E}^{\prime}=\left\{e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}\right\} \).

1.11.5 Тензорное исчисление

130 ₽

\[ \begin{array}{l} \text { Заданы } \quad \text { векторы } \quad x_{1}=(3 ; 1), x_{2}=(5 ; 0) \text {, } \\ x_{3}=(1 ;-1) . \end{array} \] Найти компоненты тензора \[ x=x_{1} \otimes x_{2}+x_{2} \otimes x_{3} \text {. } \]

1.11.6 Тензорное исчисление

60 ₽

Дан тензор: \[ A=\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)=a_{i j k} \] Найти компоненты тензоров: 1) \( a_{(i j) k} \), 2) \( a_{i(j k)} \), 3) \( a_{(i|j| k)} \), 4) \( a_{(i j k)} \).

1.11.7 Тензорное исчисление

120 ₽

Пусть \( a=\operatorname{det}\left(a_{i k}\right) \) для тензора \( a_{i k} \). Доказать, что \( a=\frac{1}{6} \varepsilon_{i j k} \cdot \varepsilon^{m n p} \cdot a_{i m} \cdot a_{j n} \cdot a_{k p} \), где \( \varepsilon_{i j k} \) символ Леви - Чивиты.

1.11.8 Тензорное исчисление

70 ₽

Заданы ковариантный метрический тензор \( \left(g_{i j}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 5\end{array}\right) \) и тензор \( \left(a_{\cdot j k}^{i}\right)=\left(\begin{array}{ll|ll}3 & 4 & 2 & 5 \\ 5 & 7 & 1 & 3\end{array}\right) \). Найти матрицы тензоров: 1) \( a_{i j k} \), 2) \( a_{\cdot \cdot k}^{i j} \), 3) \( a_{\cdot j \cdot,}^{i \cdot k} \) 4) \( a^{i j k} \).

1.11.9 Тензорное исчисление

120 ₽

Задан тензор диэлектрической проницаемости: \( \varepsilon_{i j}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 5\end{array}\right) \), материал помещен в однородное поле с напряженностью \( E=E_{0}\{-2 ; 2 ; 1\} \). Найти: 1) тензор диэлектрической восприимчивости \( \alpha_{i j} \) диэлектрика 2) вектор поляризации \( P \), 3) вектор электрической индукции \( D \), 4) попарные углы между векторами \( E, P, D \).

1.11.10 Тензорное исчисление

150 ₽

Заданы тензоры: \[ C=\left(C_{i j}\right)=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ -1 & 5 \end{array}\right), \quad A=\left(a^{i}\right)=(3 ; 1) \] Вычислить свертки \( a_{j}=C_{i j} a^{i}, b_{i}=C_{i j} \cdot a^{j} \), и скаляр \( u=C_{i j} \cdot a^{i} \cdot a^{j} \).

1.11.12 Тензорное исчисление

50 ₽

Заданы тензоры: \[ \left(C^{i j}\right)=C=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ -1 & 5 \end{array}\right), \quad d_{i j}=D=\left(\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 3 & 1 \end{array}\right) \] Вычислить свертки \( a_{k}^{j}=C^{i j} d_{i k}, b_{k}^{i}=C^{i j} d_{k j} \), и скаляр \( u=C^{i j} d_{i j} \).

1.11.11 Тензорное исчисление

50 ₽