Линейные пространства

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Пусть \( M- \) множество многочленов \( p \in P_{n} \quad \) с вещественными коэффициентами, удовлетворяющих указанным условиям. Доказать, что \( M \)-линейное подпространство в \( P_{n} \), найти его базис и размерность. Дополнить базис \( M \) до базиса всего пространства \( P_{n} \). Найти матрицу перехода от канонического базиса пространства \( P_{n} \) к построенному базису. \[ n=3, M=\left\{p \in P_{3} \mid p^{\prime \prime}(a)+p^{\prime}(0)=0\right\} \text {. } \]

1.9.1 Линейные пространства

150 ₽

Доказать, что множество матриц \( M \) является подпространством в пространстве всех матриц данного размера. Построить базис и найти размерность подпространства \( M \). Проверить, что матрица В принадлежит \( M \) и разложить eе по найденному базису. \[ M=\left\{A \in M_{3 \times 3} \mid A=A^{T} \text { (симметричны), } \quad\right. \text { суммы } \] элементов в столбцах одинаковы суммы элементов в строках знакочередуются\}, \[ B=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 &

1.9.2 Линейные пространства

250 ₽

Выяснить, образует ли линейное пространство множество всех действительных чисел, если в нём определены сумма любых двух элементов \( a \) и \( b \), равная \( a+b \) и произведение любого элемента \( a \) на любое действительное число \( \varepsilon \), равное \( \varepsilon \cdot a \).

1.9.3 Линейные пространства

0 ₽

Доказать, что множество \( M \) функций \( x(t) \), заданных на области D, образует линейное пространство. Найти его размерность и базис. \[ M=\{\alpha+\beta \tan t+\gamma \cot t\}, \quad t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) . \]

1.9.4 Линейные пространства

100 ₽

Пусть \( V \)-линейное пространство всех симметричных многочленов степени не выше двух над \( \mathbb{R} \) от двух переменных \( x \) и \( y \). Выберите базис в пространстве \( V \) и найдите матрицу оператора \( L \) в этом базисе, если \[ L(f)(x, y)=(2 x+3 y) \frac{\partial f}{\partial x}+(3 x+2 y) \frac{\partial f}{\partial y} \text {. } \]

1.9.5 Линейные пространства

150 ₽

Доказать, что множество векторов \( L=\left\{\bar{a}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right) \mid \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}=0\right\} \) является подпространством пространства \( R^{n} \), а последовательность \( n \)-мерных векторов \( \bar{a}_{1}=(1,0, \ldots, 0,-1), \bar{a}_{2}=(0,1, \ldots, 0,-1), \ldots, \bar{a}_{n-1}= \) \( =(0,0, \ldots, 1,-1)- \) базис этого подпространства.

1.9.6 Линейные пространства

100 ₽

Доказать, что множество \( n \)-мерных векторов \( L=\{\bar{a}=\underbrace{(\alpha, \beta, \alpha, \beta, \ldots)}_{n} \mid \alpha, \beta \in R\} \quad \) является подпространством пространства \( \mathbb{R}^{n} \), найти базис и размерность этого подпространства.

1.9.7 Линейные пространства

100 ₽

Пусть \( M \) множество многочленов \( P \in \mathrm{P}_{n} \) с вещественными коэффициентами, удовлетворяющих указанным условиям. Доказать, что \( M \) - линейное подпространство в \( \mathrm{P}_{n} \), найти его базис и размерность. Дополнить базис \( M \) до базиса всего пространства \( \mathrm{P}_{n} \). \[ n=3, \quad M=\left\{P \in \mathrm{P}_{3} \mid P^{\prime \prime}(1)+P^{\prime}(0)=0\right\} \text {. } \]

1.9.8 Линейные пространства

120 ₽

условие: Доказать, что векторы вида \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \) образуют линейное подпространство в пространстве \( \mathbb{R}^{4} \). Найти базис и размерность этого подпространства. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства. Найти матрицу перехода от канонического базиса пространства \( \mathbb{R}^{4} \) к построенному базису. \[ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=(a-b+3 c,-2 b, c, a+2 b) \text {. } \]

1.9.10 Линейные пространства

150 ₽

Условие: Пусть \( M- \) множество многочленов \( p \in \mathbb{P}_{n} \) c вещественными коэффициентами, удовлетворяющих указанным условиям. Доказать, что \( M \)-линейное подпространство в \( \mathbb{P}_{n} \), найти его базис и размерность. Дополнить базис \( M \) до базиса всего пространства \( \mathbb{P}_{n} \). Найти матрицу перехода от канонического базиса пространства \( \mathbb{P}_{n} \) к построенному базису. \[ n=4, \quad p(t) \in M, \quad p(-2)=p(3)=0 \text {. } \]

1.9.11 Линейные пространства

180 ₽

условие: Доказать, что множество \( M \) функций \( x(t) \), заданных на области \( D \), образует линейное пространство. Найти его базис и размерность. \[ \begin{array}{l} M=\left\{a e^{-3 t}+\beta \operatorname{sh} 3 t+\gamma e^{3 t}+\delta\right\} \\ t \in(-\infty,+\infty) \end{array} \]

1.9.9 Линейные пространства

120 ₽

Условие: Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов \( x \) и \( y \) и произведение любого элемента \( x \) на любое действительное число \( \alpha \) ? Множество всех векторов пространства \( \mathbb{V}_{3} \), лежащих на одной оси; сумма: \( x+y \), произведение \( \alpha|x| \).

1.9.12 Линейные пространства

150 ₽

Условие: Пусть \( V \)-линейное пространство всех многочленов над \( \mathbb{R} \) степени \( \leq 5 \), а \( v \)-билинейная форма на \( V \), заданная формулой \( \quad v(p, q)=\sum_{k=1}^{n} p(k) q(k) \). При каких значениях \( n \) форма \( v \) явйяется скалярным произведением на \( V \) ?

1.9.13 Линейные пространства

300 ₽

Условие: Доказать, что, множество \( M \) образует подпространство в пространстве \( M_{m \times n} \) всех матриц данного размера. Найти размерность и построить базис \( M \). Проверить, что матрица \( B \) принадлежит \( M \) и разложить ее по базису в \( M \). \begin{tabular}{|l|cc|} \hline \( \begin{array}{l}M-\text { множество матриц } \\ \text { указанного вида }\end{array} \) & \multicolumn{2}{|c|}{\( B \)} \\ \hline \( \begin{array}{l}\text { Нижнетреугольные матрицы 3- } \\ \text { го порядка с нулевым следом и } \\ \text { нулевой суммой элементов по } \\ \text { побочной диагонали }\end{array} \) & \( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ -2 & 5 & -3\end{array}\right) \) \\ \hline \end{tabular}

1.9.14 Линейные пространства

250 ₽

условие: Найти ортогональный базис \( L \), если \( L=\wedge\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \quad a_{1}=(0,-1,2,1) \), \( a_{2}=(3,-1,1,0), \quad a_{2}=(3,-3,5,2) \) (линейная оболочка векторов).

1.9.15 Линейные пространства

120 ₽