Измеримые функции и множества

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Показать, что любая измеримая функция на \( \mathbb{R} \) (со стандартной мерой Лебега) эквивалентна некоторой борелевской.

19.6.2.1 Измеримые функции и множества

200 ₽

Показать, что для любой измеримой функции \( f \) на отрезке \( [0,1] \) с мерой Лебега и любого \( \varepsilon>0 \) существует \( C \) с \( \mu(C)>1-\varepsilon \) и непрерывная на отрезке функция \( g \) такие, что \( f(x)=g(x) \) при \( x \in C \).

19.6.2.2 Измеримые функции и множества

300 ₽

Пусть \( f(x) \geq 0 \) для \( \mu- \) почти всех \( x \in A \) и \( \int_{A} f(x) \mu(d x)=0 \). Доказать, что \( f(x)=0 \mu- \) почти всюду на \( A \).

19.6.2.3 Измеримые функции и множества

200 ₽

Какова мощность и мера множества точек интервала \( (0 ; 1) \) в шестеричной записи которых нет цифры 2 и цифры 4.

19.6.2.4 Измеримые функции и множества

250 ₽

Доказать, что для любого множества \( A \subset \) \( \mathbb{R} \), найдется измеримое множество \( B \), такое что \( A \subset B \) и \( \mu^{*}(A)=\mu^{*}(B) \).

19.6.2.5 Измеримые функции и множества

170 ₽

Пусть \( \quad A \subset(0 ; 1) \). Положим \( f(x)=\mu^{*}(A \cap \) \( (\sqrt[5]{x} ; 1)) . \quad \) Доказать, что функция \( f(x) \) убывает, непрерывна_на отрезке \( [0 ; 1] \).

19.6.2.6 Измеримые функции и множества

170 ₽

Пусть \( E- \) неизмеримое множество на прямой, а \( A \) - множество меры нуль на прямой. Доказать, что_ \( E \backslash A \) неизмеримо.

19.6.2.7 Измеримые функции и множества

100 ₽

Пусть \( A_{1}, A_{2}- \) измеримые подмножества \( [0 ; 1] \) и \( \mu^{*}\left(A_{1}\right)+\mu^{*}\left(A_{2}\right)>1 \). Даказать, что \( \mu^{*}\left(A_{1} \cap A_{2}\right)>0 \).

19.6.2.8 Измеримые функции и множества

150 ₽

Доказать, что множество \( A \) будет измеримо если для любого числа \( \varepsilon>0 \) найдется открытое множество \( B_{\varepsilon} \) такое, что \( A \subset B_{\varepsilon} \) и \( \mu^{*}\left(B_{\varepsilon} \backslash A\right)<\varepsilon \)

19.6.2.9 Измеримые функции и множества

170 ₽

Пусть \( A \)-измеримое подмножество отрезка [0;1], обладающее свойством: расстояние между любыми двумя точками из \( A \) является иррациональным числом. Доказать, что \( \mu^{*}(A)=0 \).

19.6.2.10 Измеримые функции и множества

200 ₽

Пусть \( f_{1}=g_{1} \quad \) п в. (почти всюду) на множестве \( A \). Доказать, что \( f_{1}+f_{2}=g_{1}+g_{2} \) п.в. на множестве \( A \).

19.6.2.11 Измеримые функции и множества

130 ₽

Пусть \( f(x) \leq 0 \) п. в. (почти всюду) на \( A \) и \( g(x) \leq 0 \quad \) п. \( \quad \) в. \( \quad \) на \( A, \quad \) пусть \( h(x)= \) \( \max (f(x), g(x)) \) Доказать, что \( h(x) \leq 0 \) п. в. на \( A \).

19.6.2.12 Измеримые функции и множества

120 ₽

Условие: На основе определения доказать измеримость функции \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x)=\left(x^{2}-1\right)(x+3) \)

19.6.2.13 Измеримые функции и множества

150 ₽

Условие: На основе определения доказать измеримость функции \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x)=[x]- \) целая часть числа.

19.6.2.14 Измеримые функции и множества

120 ₽