Свойства метр. пространств

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Является ли \( \rho(x, y)=\max _{1 \leq k \leq n} k\left(x_{k}-y_{k}\right) \) метрикой на \( \mathbb{R}^{n} \), где \( x, y \in \mathbb{R}^{n}, x= \) \( \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \)

19.1.1.1 Свойства метрические пространств

100 ₽

Пусть на \( \mathbb{R} \) задана метрика \( \rho(x, y)= \) \( \left|\tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y\right| \). Доказать, что полученное пространство не является полным. Указание: рассмотреть последовательность \( x_{n}=n \).

19.1.1.4 Свойства метрические пространств

100 ₽

На \( \mathbb{R} \) задана метрика \( \rho(x, y)=\tan ^{-1}|x-y| \). Выяснить, является ли это пространство полным?

19.1.1.5 Свойства метрические пространств

100 ₽

\( \mathrm{Ha} \mathbb{R} \) задана метрика \( \rho(x, y)=\left|x^{3}-y^{3}\right| \). Выяснить, является ли это пространство полным?

19.1.1.6 Свойства метрические пространств

100 ₽

Доказать, что множество рациональных чисел не является полным в пространстве \( \mathbb{R} \).

19.1.1.7 Свойства метрические пространств

200 ₽

Доказать, что открытый шар является открытым множеством, а замкнутый шар является замкнутым множеством.

19.1.1.8 Свойства метрические пространств

100 ₽

Привести пример фундаментальной последовательности в пространстве \( (0,1) \) с метрикой \( \rho(x, y)=\left|\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\sin y}\right| \), которая не является сходящейся.

19.1.1.9 Свойства метрические пространств

100 ₽

\( / \) Yсловие: Является ли указанная функцня \( \rho(x, y) \) метрикой на заданном множестве? Заполнить таблицу.

19.1.1.2 Свойства метрические пространств

500 ₽

условие: Пусть \( x^{0}, x^{1} \in l_{1} \). Найти \( \varepsilon \)-окрестность точки \( x^{0} \), в которой лежит точка \( x^{1} \). \[ \begin{array}{l} l_{1}=\left\{x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, \ldots, \ldots\right)\left|\sum_{n=1}^{\infty}\right| x_{n}\left|<\infty, \rho_{1}(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty}\right| x_{n}-y_{n} \mid\right\}, \\ x^{0}=(0, \ldots, 0, \ldots), x^{1}=\left(1, \frac{1}{4}, \ldots, \frac{1}{n^{2}}, \ldots\right) . \end{array} \]

19.1.1.10 Свойства метрические пространств

100 ₽

Условие: Пусть \( \rho(m, n)=\left\{\begin{array}{c}1+(m+n)^{-1}, \quad m \neq n \\ 0, \quad m=n\end{array}, m, n \in \mathbb{N}\right. \), ( \( \mathbb{N} \)-множество всех натуральных чисел). Является ли пара \( (\mathbb{N}, \rho) \) - метрическим пространством?

19.1.1.11 Свойства метрические пространств

60 ₽

Условие: Пусть \( \rho(x, y)- \) метрика на множестве \( X \). Докажите, что функции \[ \begin{array}{l} \rho_{1}(x, y)=\frac{\rho(x, y)}{1+\rho(x, y)} \\ \rho_{2}(x, y)=\ln (1+\rho(x, y)), \\ \rho_{3}=\min \{1, \rho(x, y)\} \end{array} \] также являются метриками.

19.1.1.12 Свойства метрические пространств

150 ₽

Условие: В пространстве \( C[0,2] \) найдите расстояние между функциями: a) \( x(t)=2 \sin \pi t, \quad y(t)=2 \cos \pi t \) б) \( x(t)=t^{2}, \quad y(t)=6 t \)

19.1.1.13 Свойства метрические пространств

100 ₽

Условие: В пространствах \( C[0,2], \quad C_{1}[0,2], \quad C_{2}[0,2] \) найдите расстояние между функциями: a) \( x(t)=t^{2}, \quad y(t)=3 t+4 \) б) \( x(t)=t^{2}-8 t-1, \quad y(t)=-4 t+3 \).

19.1.1.14 Свойства метрические пространств

200 ₽

Условие: Являются ли метрикой на вещественной прямой следующие функции: a) \( \rho(x, y)=\sin ^{2}(x-y) \) б) \( \rho(x, y)=\sqrt{|x-y|} \) в) \( \rho(x, y)=\left|e^{x}-e^{y}\right| \).

19.1.1.3 Свойства метрические пространств

120 ₽

условие: Найти производную отображения: \[ F(x)=\left(x^{2}-x+1, e^{x}, \ln (x+1)\right) \]

19.1.1.15 Свойства метрические пространств

50 ₽