Олимпиадная алгебра

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) Найдите целую часть наибольшего значения параметра \( a \), при котором уравнение \[ 3 \log _{5} \frac{x^{2}+a x+4}{x}+5\left(x^{2}+(a-1) a+4\right)=0 \] имеет положительные корни и все эти корни целые. Если искомая величина не существует, то в качестве ответа укажите слово “нет”.

12.5.1 Олимпиадная алгебра

100 ₽

Условие: Вычислить сумму: \[ \begin{array}{l} \left(\frac{1+2}{3}+\frac{4+5}{6}+\frac{7+8}{9}+\cdots+\frac{2017+2018}{2019}\right)+ \\ +\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{673}\right) \end{array} \]

12.5.2 Олимпиадная алгебра

0 ₽

Условие: Упростить сумму: \[ 1-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{25}+\frac{1}{16}-\frac{1}{125}+\frac{1}{64}-\cdots-\frac{1}{5^{n}}+\frac{1}{4^{n}} \] В ответе нельзя использовать многоточия и знаки суммирования.

12.5.3 Олимпиадная алгебра

0 ₽

условие: Пусть \( 1,4, \ldots, \ldots \) и \( 9,16, \ldots, \ldots- \) две арифметические прогрессии. \( S \)-множество, полученное объединением первых 2004 элементов каждой последовательности. Сколько разных элементов во множестве \( S \) ?

12.5.4 Олимпиадная алгебра

80 ₽

условие: Решить систему уравнений: \[ \left\{\begin{array}{c} x+\frac{12 x-5 y}{x^{2}+y^{2}}=5 \\ y-\frac{5 x+12 y}{x^{2}+y^{2}}=-1 \end{array}\right. \]

12.5.5 Олимпиадная алгебра

200 ₽

условие: Решите в положительных целых числах \( x, y, z \) систему уравнений: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x}-20 y+15 z=18 \\ \frac{1}{y}-15 z+18 x=20 \\ \frac{1}{z}-18 x+20 y=15 \end{array}\right. \]

12.5.6 Олимпиадная алгебра

170 ₽

условие: Дано положительное число \( a \). Известно, что уравнение \( x^{3}+1=a x \) имеет ровно два положительных корня, и отношение большего из них к меньшему равно 2018. Уравнение \( x^{3}+1=a x^{2} \) также имеет ровно два положительных корня. Докажите, что отношение большего из них к меньшему также равно 2018.

12.5.7 Олимпиадная алгебра

170 ₽

Условие: При каких значениях \( a \) уравнение \( [x]^{2}+2012 x+a=0 \) (где \( [x] \)-целая часть числа \( x \), т. е. наибольшее целое число, не превосходящее \( x \) ) имеет наибольшее количество решений? Каково это количество?

12.5.8 Олимпиадная алгебра

150 ₽

Условие: Чему равна площадь фигуры, точки которой задаются уравнением \[ \begin{array}{l} |-15 x-3 y-21|+|-30 x+6 y-78|+ \\ +|-3 y-6|=15 x-6 y+63 \end{array} \]

12.5.9 Олимпиадная алгебра

250 ₽

Условие: Пусть для последовательности \( \left\{c_{n}\right\} \) имеет место соотношение: \[ c_{n+1}=\sqrt{c_{n}}+\sqrt{c_{n-1}}, n \geq 1, c_{0}>0, c_{1}>0 \] Доказать, что \( c_{n} \) сходится и найти его предел.

12.5.10 Олимпиадная алгебра

200 ₽

условие: Пусть для последовательности \( \left\{x_{n}\right\} \) \[ \begin{array}{l} x_{n}=\sqrt{a_{1}+\sqrt{a_{2}+\cdots+\sqrt{a_{n}}}}, \quad a_{i}>1, i=1,2, \ldots \\ \text { и } \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n} \ln \left(\ln a_{n}\right)\right)<\ln 2 . \end{array} \] Доказать, что \( x_{n} \) сходится.

12.5.11 Олимпиадная алгебра

200 ₽

условие: Используя теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности, исследовать сходимость последовательности: \[ x_{n+1}=x_{n} \cdot \frac{n+1}{3 n^{2}-1}, \quad x_{1}=a \]

12.5.12 Олимпиадная алгебра

100 ₽

условие: Используя теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности, исследовать сходимость последовательности. \[ x_{n+1}=\frac{x_{n} \cdot n^{2}}{3^{n-1}+4}, \quad x_{1}=a \]

12.5.13 Олимпиадная алгебра

100 ₽

условие: При каких \( n \in \mathbb{N} \) многочлен \( (x+1)^{n}+x^{n}+1 \) делится на многочлен \( x^{2}+x+1 \) ?

12.5.14 Олимпиадная алгебра

200 ₽

Условие: Найдите все значения переменной \( x \), при каждом из которых оба выражения \[ \begin{array}{l} f(x)=\tan ^{2}\left(\frac{\pi \cos x}{2 \sqrt{2}}\right)+\cot ^{2}\left(\frac{\pi \cos x}{2 \sqrt{2}}\right) \\ \text { и } g(x)=\frac{\sqrt{15-2 x-x^{2}}+2 x+4}{2+x} \end{array} \] определены, причем значение меньшего из выражений не превосходит двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).

12.5.15 Олимпиадная алгебра

130 ₽

1
2
›