Квадратичные формы

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность, привести к каноническому виду ортогональным преобразованием и записать матрицу перехода. \[ \begin{array}{l} f\left(x_{1}, x_{2} x_{3}\right)=3 x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}-\frac{3}{2} x_{3}{ }^{2}+2 \sqrt{3} x_{1} x_{2}- \\ -x_{1} x_{3}+\sqrt{3} x_{2} x_{3} . \end{array} \]

1.8.1 Квадратичные формы

150 ₽

При каких значениях \( \lambda \) следующая квадратичная форма является положительно определенной: \[ f=5 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\lambda x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} . \]

1.8.2 Квадратичные формы

0 ₽

Методом Лагранжа привести квадратичную форму \( x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1} \) к нормальному виду и найти соответствующее невырожденное преобразование переменных.

1.8.3 Квадратичные формы

100 ₽

Привести к каноническому виду квадратичную форму \( 6 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+7 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3} \) и найти соответствующее ортогональное преобразование переменных.

1.8.4 Квадратичные формы

150 ₽

Для следующих форм найти невырожденное линейное преобразование, переводящее \( \phi о р м у ~ f(x) \) в форму \( g(y) \) (искомое преобразование определяется неоднозначно). \[ \begin{array}{l} f(x)=2 x_{1}^{2}+9 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+8 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-10 x_{2} x_{3} \\ g(y)=2 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+6 y_{3}^{2}-4 y_{1} y_{2}-4 y_{1} y_{3}+8 y_{2} y_{3} \end{array} \]

1.8.5 Квадратичные формы

100 ₽

Методом Лагранжа найти нормальный вид квадратичной формы: \[ f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3} . \]

1.8.6 Квадратичные формы

0 ₽

условие: Задана квадратичная форма \( \varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \). 1) Привести ее к каноническому виду методом Лагранжа, выписав соответствующее преобразование переменных. 2) Привести ее к каноническому виду ортогональным преобразованием. 3) Проверить закон инерции квадратичных форм на примерах преобразований, полученных в предыдущих пунктах 1)-2). 4) Какая поверхность задается уравнением \( \varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1 \) ? \( \varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+9 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{2} x_{3} \).

1.8.7 Квадратичные формы

200 ₽

условие: Выписать квадратичную форму с данной матрицей \( A \). Привести ее к каноническому виду, определить ранг, положительный и отрицательный индексы в зависимости от значений параметра \( a \). При каких значениях \( a \) форма положительно определена? \[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & a+4 & 2 a-2 \\ -1 & 2 a-2 & 5 a \end{array}\right) \]

1.8.8 Квадратичные формы

130 ₽

условие: Дана квадратичная форма \( Q(\vec{x}) \). 1) Привести \( Q(\vec{x}) \) к каноническому виду методом Лагранжа. Записать соответствующее преобразование переменных. 2) Привести \( Q(\vec{x}) \) к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования, выписать матрицу перехода. 3) Убедиться в справедливости закона инерции квадратичных форм на примере преобразований, полученных в пунктах 1 и 2 . 4) Поверхность второго порядка \( \sigma \) задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением \( Q(\vec{x})=\alpha \). Определить тип поверхности \( \sigma \) и написать ее каноническое уравнение. \[ Q(\vec{x})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 \sqrt{2} x_{1} x_{3}-2 \sqrt{2} x_{2} x_{3}, \quad \alpha=0 . \]

1.8.10 Квадратичные формы

250 ₽

Условие: Преобразовать к нормальному виду квадратичную форму \[ 2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{3} x_{1} \text {. } \]

1.8.11 Квадратичные формы

80 ₽

Условие: Исследовать знакоопределеность квадратичной формы в зависимости от значения параметра \( \lambda \). \[ f(x, y)=2 \lambda x^{2}+(2 \lambda+8) x y+(\lambda+1) y^{2} \]

1.8.12 Квадратичные формы

100 ₽

Условие: Квадратичную форму \( F(X)=X^{T} A X \) привести к каноническому виду \( F(Y)=Y^{T} A Y \). Найти матрицу \( C \) преобразования \( X=C Y \), приводящего \( F(X) \) к виду \( F(Y) \). \[ F(X)=x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+3 x_{2}^{2}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{3}^{2} \text {. } \]

1.8.9 Квадратичные формы

100 ₽

условие: Привести квадратичную форму \( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-7 x^{2}+4 x_{1} x_{2}-7 x_{2}^{2} \) \( \mathrm{K} \) каноническому виду методами Лагранжа и Якоби. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы.

1.8.13 Квадратичные формы

120 ₽

условие: Квадратичная форма в некотором базисе \( \left\{e_{1} ; e_{2} ; e_{3}\right\} \) имеет вид \( Q(x)=2 x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}- \) \( -4 x_{2}^{2}-16 x_{1} x_{3} \). Найти ее матрицу в базисе \( \left\{f_{1}=4 e_{1}-e_{3} ; f_{2}=e_{1}-2 e_{2} ; f_{3}=e_{2}-8 e_{3}\right\} \).

1.8.14 Квадратичные формы

80 ₽

условие: Приведите квадратичную форму \( q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \) к каноническому виду ортогональным преобразованием (приведение к главным осям). \[ \begin{array}{l} q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+ \\ +4 x_{2} x_{3} . \end{array} \]

1.8.15 Квадратичные формы

150 ₽

1
2
›