Группа перестановок

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: Решить уравнение в группе подстановок \( S_{\mathcal{T}}:(1234567) \cdot X \cdot(26)=(134) \cdot(275) \). Разложить подстановку на циклы и транспозиции.

1.3.1 Группа перестановок

80 ₽

Условие: Найти знак и порядок перестановки \( \alpha \), а так же найти перестановку \( \alpha^{1644} \), где \[ \alpha=(02) \cdot(0982) \cdot(45) \cdot(3579) \cdot(2684) \cdot(1825) . \]

1.3.2 Группа перестановок

100 ₽

Условие: Найти число различных подгрупп порядка 7 в группе перестановок \( S_{15} \).

1.3.3 Группа перестановок

150 ₽

Условие: Является ли подгруппа \( \left\{\sigma \in S_{n} \mid \sigma(1)=1\right\} \) нормальным делителем в \( S_{n} \) ?

1.3.6 Группа перестановок

50 ₽

В симметрической группе \( S_{5} \) выяснить, будет ли множество \( \left\{\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)\right. \), (1 2 3 ), (1 2 классом по какой-либо подгруппе.

1.3.4 Группа перестановок

200 ₽

Пусть \( A \)-некоторая вершина правильного тетраэдра. Доказать, что множество всех самосовмещений тетраэдра, оставляющих неподвижной точку \( A \), есть группа, изоморфная группе \( S_{3} \).

1.3.5 Группа перестановок

120 ₽

Дана группа ( G=(a, b) ) и ее подгруппа ( H ). 1. Найти порядок элементов ( a, b, a b ). 2. Определить порядок ( H ) и составить для нее таблицу Кэли. 3. Проверить, что ( b H=H b ), и вывести отсюда, что подгруппа ( H ) нормальна в ( G ). 4. Описать смежные классы ( G ) по ( H ). 5. Проверить, что ( G / H ) циклична, и найти ее порядок. 6. Определить порядок группы ( G ). 7. Выяснить, является ли нормальной в ( G ) циклическая подгруппа с образующей ( b ). 8. Найти все подгруппы ( Z(b) ). [ a=left(egin{array}{lll} 1 & 2 & 3 end{array} ight), quad b=left(egin{array}{ll} 1 & 2 end{array} ight)left(egin{array}{ll} 4 & 5 end{array} ight), quad H=(a) . ]

1.3.7 Группа перестановок

500 ₽

Порождают ли перестановки порядка 11 группу \( S_{11} \) ?

1.3.8 Группа перестановок

100 ₽

Доказать, что группа \( A_{5} \) является простой, то есть не имеет собственных нормальных подгрупп.

1.3.9 Группа перестановок

200 ₽

Пусть \( G \)-группа, \( |G|=6 \). Доказать, что \( G \) коммутативна, либо \( G \cong S_{3} \) (изоморфна).

1.3.10 Группа перестановок

150 ₽

Доказать, что все элементы порядка 11 сопряжены в \( S_{11} \). Замечание: элемент \( b \) группы \( G \) сопряжен с \( a \) посредством \( g \), если \( b=g a g^{-1} \).

1.3.11 Группа перестановок

120 ₽

Условие: Найти все элементы группы \( S_{n} \), перестановочные с циклом \( \left(\alpha_{1} \alpha_{2} \ldots \alpha_{n}\right) \), где \( \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)- \) перестановка чисел \( 1,2, \ldots, n \).

1.3.12 Группа перестановок

150 ₽

Доказать, что если группа \( G \) некоммутативна и \[ |G|=8 \text {, то } G \cong D_{4} \text { или } G \cong Q_{8} . \]

1.3.13 Группа перестановок

180 ₽

Доказать, что Aut \( S_{3}=\operatorname{Inn} S_{3} \cong S_{3} \).

1.3.14 Группа перестановок

80 ₽

Доказать, что две перестановки сопряжены в группе \( S_{n} \) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру (т.е. их разложения в произведения независимых циклов для любого \( k \) содержат одинаковое число циклов длины \( k \) ).

1.3.15 Группа перестановок

100 ₽