Поля, группы, кольца

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

условие: Коммутант группы - это подгруппа, порожденная коммутаторами, то есть элементами вида \( x y x^{-1} y^{-1} \). Доказать, что коммутант является нормальной ПодгруПпой.

1.6.90 Поля, группы, кольца

150 ₽

Yсловие: Как выглядят классы сопряженных элементов в группе диэдра \( D_{n} \) ?

1.6.91 Поля, группы, кольца

200 ₽

условие: Абелева группа \( A \) содержит в качестве подгруппы \( \mathbb{Z} / 2 p \mathbb{Z}, \quad \) а фактор-группа по ней изоморфна \( \mathbb{Z} / 2 q \mathbb{Z} \), причем числа \( p, q \) - простые. Чему может быть изоморфна группа \( A \) ? Рассмотреть все оставшиеся случаи.

1.6.92 Поля, группы, кольца

200 ₽

условие: Доказать, что нормальная подгруппа индекса \( k \) содержит все элементы, порядки которых взаимно просты с \( k \).

1.6.93 Поля, группы, кольца

130 ₽

условие: Доказать, что \( \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z} \quad \) содержит подгруппу индекса 16.

1.6.94 Поля, группы, кольца

130 ₽

условие: Доказать, что в конечной группе для любого \( n \) количество элементов сопряженных с \( a^{n} \) делит количество сопряженных с \( a \).

1.6.95 Поля, группы, кольца

200 ₽

Условие: Группа \( G \) имеет более одного элемента и имеет конечный порядок. Доказать, что группа \( \mathbb{Z} \times G \) не может быть циклической.

1.6.96 Поля, группы, кольца

130 ₽

условие: Являются ли изоморфными группы \( (\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}) \) и \( (Z / 50 Z)^{\times} \)?

1.6.97 Поля, группы, кольца

300 ₽

Условие: В конечной группе ровно \( n \) элементов, a ее центр имеет порядок \( m \). Доказать, что количество элементов в любом классе сопряженности является делителем целого числа \( \frac{n}{m} \).

1.6.98 Поля, группы, кольца

180 ₽

Условие: В группе \( S L_{n}(Z) \) найти состоящую из элементарных матриц систему образующих, которые порождают некоторую собственную подгруппу, содержащую данную матрицу. \[ \left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & -5 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) \]

1.6.99 Поля, группы, кольца

250 ₽

Условие: Доказать, что фактор группа по центру изоморфна группе внутренних автоморфизмов. (Внутренние автоморфизмы - автоморфизмы, задаваемые выражениями \( \varphi_{a}(x)=a^{-1} x a \) для некоторого \( \left.a \in G\right) \).

1.6.102 Поля, группы, кольца

170 ₽

Условие: a) множество \( G \)-множество вещественных чисел по сложению является группой; б) множество \( A \)-множество целых чисел является в группе \( R \) нормальным делителем; в) описать фактор-группу \( G / A \), указав в ней единицу, вид обратного элемента, групповую операцию; г) доказать, что отображение \( \varphi: H \rightarrow L \), где \( H- \) группа целых чисел, кратных 7, по сложению, а \( L-Z^{28} \) группа вычетов по модую 28 является гомоморфизмом, вычислить его ядро и образ. \( \varphi(x)=[x]_{28} \) - остаток от деления на 28 . д) построить фактор-группу \( H / \operatorname{Ker} \varphi \), указав таблицу умножения.

1.6.45 Поля, группы, кольца

600 ₽

‹
1
2
3
4
5
6
7