Поля, группы, кольца

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: Доказать, что всякое упорядоченное поле содержит бесконечное количество элементов.

1.6.31 Поля, группы, кольца

80 ₽

Условие: Докажите, что на поле комплексных чисел нельзя ввести структуру упорядоченного поля.

1.6.32 Поля, группы, кольца

100 ₽

условие: Проверив аксиомы, установить, является ли заданная алгебра с двумя бинарными операциями полукольцом, кольцом. При этом: a) для полукольца (не являющегося кольцом), проверить, является ли полукольцо коммутативным, идемпотентным, замкнутым; б) для кольца проверить, будет ли оно булевым, есть ли в нем делители нуля, является ли кольцо полем. Заданная алгебра: Множество матриц вида \( \left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right) \), где \( a, b \in\{0,1\} \), с операциями сложения и умножения матриц, причем операции сложения и умножения элементов выполняются в полукольце \( \mathbb{B} \).

1.6.33 Поля, группы, кольца

250 ₽

Условие: Докажите, что множество целых степеней числа 3 является группой относительно операции умножения.

1.6.34 Поля, группы, кольца

50 ₽

Условие: Выясните, кольцом или полем является алгебраическая система \( (u, \bigoplus, \otimes) \), где \( u=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right) \mid a, b \in R\right\}, \bigoplus \)-сложение матриц, \( \otimes \)-умножение матриц.

1.6.35 Поля, группы, кольца

150 ₽

условие: Доказать, что квадратные матрицы порядка \( n \), в каждой строке и в каждом столбце которых имеется не более чем один элемент, равный 1, а остальные нули, образуют полугруппу.

1.6.36 Поля, группы, кольца

200 ₽

Условие: Пускай \( G \) циклическая группа \( C_{n} \). Пускай \( a, b \in G \) и \( s \in \mathbb{N}, s \geq 1 \) такие, что \( a^{s}=b^{s} \), НОД \( (s, n)=1 \). Показать, что \( a=b \).

1.6.37 Поля, группы, кольца

100 ₽

условие: В кольце классов вычетов \( Z / 91 \) найдите сумму, произведение и обратные (если они существуют) для данных классов [658] и [359].

1.6.38 Поля, группы, кольца

120 ₽

условие: Дано кольцо \( \mathbb{Z}[i \sqrt{3}]=\{a+b i \sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \). 1. Найдите все обратные элементы в данном кольце. 2. Найдите все делители числа 4. 3. Найдите все общие делители 4 и \( 2+2 i \sqrt{3} \). 4. Доказать, что 4 и \( 2+2 i \sqrt{3} \) не имеют наибольщего общего делителя.

1.6.100 Поля, группы, кольца

400 ₽

условие: Однородная система линейных уравнений \( A X=0 \) задана \( \quad \) матрицей \( A \). Элементы матрицы \( A \) принадлежат полю \( P \) характеристики 0 или конечной характеристики \( k \). Найти все решения данной системы в каждом поле \( P \). \[ A=\left(\begin{array}{cccc} -383 & 280 & -360 & -388 \\ 108 & -53 & 100 & 108 \\ -42 & 22 & -35 & -42 \\ 494 & -264 & 460 & 499 \end{array}\right) \]

1.6.101 Поля, группы, кольца

300 ₽

условие: Найти порядок подгруппы всех самосовмещений а) луча; б) отрезка - в группе всех движений прямой (движение преобразование, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками; самосовмещение - движение, отображающее фигуру на себя).

1.6.39 Поля, группы, кольца

250 ₽

Yсловие: Изоморфны ли \( \mathbb{C}^{+} \)и \( \mathbb{C}^{*} \) ?

1.6.40 Поля, группы, кольца

80 ₽

Условие: Пусть \( X \)-подмножество группы \( G \) такое, что \( X X \subseteq X \) (т.е \( x y \in X ; \forall x, y \in X \) ). Доказать, что: 1) Если \( X \) конечно или состоит из периодических элементов, то \( X \)-подгруппа \( G \), 2) В общем случае \( X \) может не быть подгруппой \( G \).

1.6.41 Поля, группы, кольца

200 ₽

условие: Пусть \( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1} x_{2} x_{3} \). Докажите, что множество \[ G_{f}=\left\{\sigma \in S_{4} \mid f\left(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}, x_{\sigma(4)}\right)=\right. \] \( \left.f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)\right\} \) является группой.

1.6.42 Поля, группы, кольца

150 ₽

Условие: Доказать, что всякая абелева группа порядка \( p q \), где \( p \neq q- \) простые числа, циклическая.

1.6.43 Поля, группы, кольца

180 ₽