Теория чисел

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: Пусть \( n=\overline{a_{h} a_{h-1} \ldots a_{0}} \) - положительное целое. Доказать, что \( n \) делится на \( 2^{k} \) или \( 5^{k}(k \leq h) \) тогда и только тогда, когда на них делится число \( \overline{a_{k-1} \ldots a_{0}} \).

12.2.31 Теория чисел

100 ₽

\( \underline{\text { условие: }} \) Для каких целых положительных \( k \) число \( 11 \ldots 1 \) состоящее из \( k \) единиц, является полным квадратом.

12.2.32 Теория чисел

120 ₽

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) Может ли 5-значное число, составленное только из четных цифр, быть полным квадратом.

12.2.33 Теория чисел

150 ₽

Условие: Найти наименьшее положительное число, кратное 15 и такое, что каждая цифра 0 или 8.

12.2.34 Теория чисел

100 ₽

Условие: Найти все положительные \( n \), для которых \( n !+5 \) полный куб.

12.2.35 Теория чисел

130 ₽

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) Пусть \( a \) и \( b \) пара взаимно простых положительных целых. Рассмотрим арифметическую прогрессию \( a, a+b, a+ \) \( 2 b, a+3 b, \ldots \) Показать, что в прогрессии бесконечно много членов, имеющих одинаковые простые делители.

12.2.36 Теория чисел

300 ₽

Условие: \[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{23}=\frac{a}{23 !} \] Вычислить остаток от деления \( a \) на 13 .

12.2.37 Теория чисел

200 ₽

условие: Пусть \( p- \) простое, большее 3 а \( m \) и \( n \) взаимно простые целые числа такие, что \[ \frac{m}{n}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{(p-1)^{2}} \] Докажем, что \( m \) делится на \( p \).

12.2.38 Теория чисел

250 ₽

условие: Пусть \( p- \) простое большее 3. Доказать, что \( (p-1) ! \cdot\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{p-1}\right) \) делится на \( p \).

12.2.39 Теория чисел

250 ₽

условие: Доказать, что сумма квадратов 3-х последовательных целых не может быть полным квадратом.

12.2.40 Теория чисел

0 ₽

условие: Определить количество упорядоченных пар положительных чисел \( (a, b) \) таких, что их наименьшее общее кратное равно \( 2^{3} \cdot 5^{7} \cdot 11^{13} \)

12.2.41 Теория чисел

200 ₽

\( \underline{\text { Условие: }} \) Найти сумму четных положительных делителей 10000.

12.2.42 Теория чисел

50 ₽

Условие: Доказать иррациональность числа \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \).

12.2.43 Теория чисел

0 ₽

условие: Какая последняя цифра в числе \( 123^{45^{67}} \) ?

12.2.44 Теория чисел

100 ₽

условие: Чему равна 13-ая цифра после запятой в числе \( (3+\sqrt{7})^{2018} \) ?

12.2.45 Теория чисел

250 ₽

‹
1
2
3
4
5
›