Теория случайных процессов

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: Элементарная случайная функция имеет вид \( Y(t)=a X+t \), где \( X \) - случайная величина, распределённая по нормальному закону с параметрами \( m, \sigma\left(p(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-m)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\right) \), \( a \) - неслучайная величина. Найти характеристики элементарной случайной функции \( Y(t) \).

15.1.1 Теория случайных процессов

150 ₽

\( \underline{\text { условие: }} \) Пусть \( S_{0}=0, S_{k}=\xi_{1}+\cdots+\xi_{k}, 1 \leq k \leq n \), где \( \xi_{1}, \ldots, \xi_{k}- \) независимые нормально распределённые, \( \mathcal{N}(0,1) \), случайные величины. Пусть \[ \phi(x)=P\left\{\xi_{1} \leq x\right\}, \mathcal{F}_{k}=\sigma\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{k}\right), 1 \leq k \leq n, \mathcal{F}_{0}=\{\emptyset, \Omega\} \] Показать, что для любого \( a \in R \) последовательность \( X=\left(X_{k}, \mathcal{F}_{k}\right)_{0 \leq k \leq n} \) с \( X_{k}=\phi\left(\frac{a-S_{k}}{\sqrt{n-k}}\right) \) является мартингалом.

15.1.2 Теория случайных процессов

250 ₽

Условие: Дан случайный процесс \( X(t)=u \cos t+v e^{t}+ \) \( t \), где \( u \) и \( v \) случайные величины с \( M(u)= \) \( M(v)=2 ; D(u)=D(v=0.2), \operatorname{cov}(u, v)=0,1 \). Найти характеристики случайного процесса \( Y(t)=2 X^{\prime}(t)-2 \).

15.1.3 Теория случайных процессов

150 ₽

условие: Случайный процесс \( X(t) \) задан каноническим разложением \( X(t)=(t+1) u+\sin t \cdot v+e^{-3 t} \), где \( D(u)=D(v)=3 \). Найти: a) характеристики случайного процесса \( X(t) \); б) характеристики случайного процесса \( Y(t)=e^{2 t} \int_{0}^{t} X(\tau) d \tau \).

15.1.4 Теория случайных процессов

200 ₽

Условие: Пусть \( X(t) \) - стационарная случайная функция с корреляционной функцией \( K_{x}(\tau)=e^{-\alpha|\tau|}, \alpha>0 \). Найти спектральную плотность \( S_{x}(\omega) \).

15.1.5 Теория случайных процессов

120 ₽

Условие: Случайная функция \( X(t) \) имеет характеристики \[ m_{X}(t)=0, \quad k_{x}\left(t, t^{\prime}\right)=\frac{1}{1+\left(t-t^{\prime}\right)^{2}} \] Найти характеристики случайной функции \[ Y(t)=\int_{0}^{t} X(t) d t \text { и выяснить, являются ли } X(t), Y(t) \] стационарными?

15.1.6 Теория случайных процессов

150 ₽

условие: Случайный процесс имеет вид: \( X(t)=V \cdot e^{-t}+ \) \( a t^{2} \), где \( V \) - случайная величина, распределённая по показательному закону с параметром \( \lambda, a= \) const. Найти математическое ожидание, нормированную автоковариационную функцию и дисперсию \( t^{2} X(t) \)

15.1.7 Теория случайных процессов

150 ₽

Условие: Известны характеристики случайного процесса \[ X(t): m_{X}(t)=2 t^{2}-1, R_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=2 e^{-3 t_{1}-t_{2}} . \] Найти математическое ожидание и дисперсию процесса \[ Y(t)=\frac{d X(t)}{d t}-2 \]

15.1.8 Теория случайных процессов

100 ₽

условие: Задан случайный процесс \( Y(t)=a+X t^{2} \), где \( X \) - случайная величина: \( f(x) \sim R[0 ; 3] \). 1) Нарисовать траекторию \( Y(t) \), 2) Найти: \( M[Y(t)], K_{Y}\left(t_{1}, t_{2}\right), D[Y(t)] \).

15.1.9 Теория случайных процессов

150 ₽

Условие: Задан случайный процесс \( Y(t)=a+X t \), где \( X \) случайная величина: \( f(x) \sim N[2 ; 2] \). Найти: \( M[Y(t)], K_{Y}\left(t_{1}, t_{2}\right), D[Y(t)] \), нарисовать семейство траекторий \( Y(t)=a+X t \).

15.1.10 Теория случайных процессов

120 ₽

Условие: Задан случайный процесс \( Y(t)=a t+X \), где \( X \) случайная величина: \( f(x) \sim R[-2 ; 2] \). Найти: \( M[Y(t)], K_{Y}\left(t_{1}, t_{2}\right), D[Y(t)] \), нарисовать семейство траекторий \( Y(t)=a+X t \).

15.1.11 Теория случайных процессов

150 ₽

Условие: Случайный процесс \( X(t), t \geq 0 \), определяется формулой \( X(t)=\alpha \cos (t+\beta)+\varepsilon \), где \( \alpha, \beta, \varepsilon- \) независимые случайные величины, причём \( \alpha \sim N(0,1), \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^{2}\right), \beta \sim U[-\pi, \pi] \). Найти: \( P\left(X\left(t_{1}\right) \leq X\left(t_{2}\right) \mid \alpha \geq 0\right) \) где \( 0 \leq t_{1} \leq t_{1} \leq \frac{\pi}{2} \).

15.1.12 Теория случайных процессов

150 ₽

Условие: Случайный процесс \( X(t), t \geq 0 \), определяется формулой \( X(t)=\alpha \cos (t+\beta)+\varepsilon \), где \( \alpha, \beta, \varepsilon \) независимые случайные величины, причём \( \alpha \sim N(0,1), \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^{2}\right), \beta \sim U[-\pi, \pi] \). Является ли процесс \( X(t), t \geq 0 \) стационарным в широком смысле?

15.1.13 Теория случайных процессов

250 ₽

Условие: Задан случайный процесс \( \xi(t)= \) const, \( n-1 \leq \) \( t \leq n, \forall n \in \mathbb{N} \). Значения \( \xi(t) \) при \( t \in(n, n+1] \) и \( t \in(m, m+1] \) независимые случайные величины \( (n \neq m) \), с плотностью вероятности \( P(x)=\frac{|x|^{\lambda}}{2 \Gamma(x+1)} e^{-|x|} \) Выяснить, является ли случайный процесс \( \xi(t) \) стационарным в широком смысле?

15.1.14 Теория случайных процессов

250 ₽

Условие: Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции \( X(t)=X_{1} \cdot e^{2 t}-X_{2} \cdot \cos 5 t+3 t^{2}-1 \), где \( X_{1} \) и \( X_{2} \) - некоррелированные случайные величины с характеристиками: \[ m_{X_{1}}=0,2, m_{X_{2}}=0,3, D_{X_{1}}=0,01, D_{X_{1}}=0,04 \text {. } \]

15.1.15 Теория случайных процессов

150 ₽

1
2
3
›