Интегралы зависящие от параметра

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

условие: Исследовать интеграл на равномерную сходимость по параметру в заданной области E: \[ \begin{array}{l} \int_{0}^{\infty} \sin (\alpha \sinh x) d x, \quad E=\left[\frac{1}{2}, \infty\right) \\ \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \end{array} \]

9.2.1 Интегралы зависящие от параметра

200 ₽

Условие: Определить область существования и выразить через интегралы Эйлера интеграл: \[ I=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin ^{\alpha-1} x}{(1+\beta \cos x)^{\alpha}} d x, \quad 0<|\beta|<1 . \]

9.2.2 Интегралы зависящие от параметра

200 ₽

Условие: Доказать формулу: \[ I=\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{3}} d x \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{3}} d x=\frac{2 \pi \sqrt{3}}{27} \]

9.2.3 Интегралы зависящие от параметра

150 ₽

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующий интеграл: \[ I(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan ^{-1}(a \sin x)}{\sin x} d x . \]

9.2.4 Интегралы зависящие от параметра

150 ₽

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующий интеграл: \[ I(\alpha, \beta)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+\alpha^{2} x^{2}\right) \tan ^{-1}(\beta x)}{x^{3}} d x, \alpha, \beta>0 . \]

9.2.5 Интегралы зависящие от параметра

200 ₽

Дакажите, что интеграл \( \mathrm{I}(\alpha) \) сходится равномерно на множестве E, если: \[ I(a)=\int_{2}^{+\infty} x^{\alpha} e^{-2 x^{\alpha}} d x, \quad \mathrm{E}=[1 ; 2] . \]

9.2.6 Интегралы зависящие от параметра

100 ₽

Используя интегралы Дирихле/ Фруллани/ Френеля/ Эйлера/ Пуассона/ Лапласа, вычислить следующий интеграл: \[ I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} e^{-\left(x^{2}+\frac{\alpha^{2}}{x^{2}}\right)} d x, \quad \alpha>0 . \]

9.2.7 Интегралы зависящие от параметра

150 ₽

Используя интегралы Дирихле/ Фруллани/ Френеля/ Эйлера/ Пуассона/ Лапласа, вычислить следующий интеграл: \[ I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{5} \alpha x}{x^{3}} d x . \]

9.2.8 Интегралы зависящие от параметра

200 ₽

Используя интеграл Эйлера, вычислить интеграл: \[ I=\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{\alpha} \ln ^{2} x}{1+x^{2}} d x, \quad|\alpha|<1 . \]

9.2.9 Интегралы зависящие от параметра

200 ₽

Исследовать непрерывность функции \( F(y) \) на множестве \( Y \) : \[ F(y)=\int_{0}^{+\infty} y \cdot e^{-y^{2} x} d x, \quad Y=\mathbb{R} \]

9.2.10 Интегралы зависящие от параметра

100 ₽

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующий интеграл: \[ I(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(a^{2}-\cos ^{2} \varphi\right) d \varphi,|a|>1 . \]

9.2.11 Интегралы зависящие от параметра

200 ₽

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующий интеграл: \[ \begin{array}{l} I=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x} \sin m x d x, \quad \alpha>0, \\ \beta>0, \quad m \neq 0 . \end{array} \]

9.2.12 Интегралы зависящие от параметра

130 ₽

Докажите, что интеграл \( I(\alpha) \) сходится равномерно на множестве E, если: \[ I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \cos x^{\alpha} d x, \mathrm{E}=\left[\alpha_{0} ;+\infty\right), \alpha_{0}>1 . \]

9.2.13 Интегралы зависящие от параметра

100 ₽

Исследовать на равномерную сходимость следующий интеграл: \[ I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin e^{x}}{1+x^{\alpha}} d x . \]

9.2.14 Интегралы зависящие от параметра

100 ₽

Исследовать на равномерную сходимость следующий интеграл: \[ I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \sqrt{\alpha} \cdot e^{-\alpha x^{2}} d x . \]

9.2.15 Интегралы зависящие от параметра

100 ₽

1
2
3
›