MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: Найти остаток деления \( 11^{11^{55}} \) на 49.

12.2.52 Теория чисел

150 ₽

Условие: Докажите, что для произвольных положительных действительных чисел \( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \) выполняется неравенство: \[ \frac{n}{\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+\cdots+\frac{1}{1+a_{n}}}-\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}} \geq 1 \]

12.3.1.10 Алгебраические

200 ₽

Условие: Найти максимум и минимум выражения \[ x^{2 n}+y^{2 n} \text {, если } x^{2}+y^{2}=1, n \in \mathbb{N} \text {. } \]

12.3.1.11 Алгебраические

200 ₽

условие: Какое наибольшее количество точек координатной плоскости можно отметить в кольце \( \left\{(x ; y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 2\right\} \) так, чтобы расстояние между любыми двумя из них была не меньше 1.

12.3.2.2 Геометрические

200 ₽

Условие: Найти все пары чисел \( (x, y) \), для которых выражение \[ \begin{array}{l} \sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y-4)^{2}}+ \\ +\sqrt{(x-4)^{2}+(y-3)^{2}}+\sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}} \end{array} \] принимает минимальное значение.

12.3.2.3 Геометрические

200 ₽

условие: На диаметре КМ окружности радиуса \( R \) выбрана точка \( A \), удаленная от центра окружности на расстояние \( a \in[0 ; R) \). Проведите через точку \( A \) хорду \( L N \) таким образом, чтобы площадь четырехугольника \( K L M N \) была максимальной. Найдите эту площадь.

12.3.2.4 Геометрические

250 ₽

условие: Вы кидаете игральный кубик, и вам платят число рублей, выпавшее на кубике. У вас есть возможность перекинуть кубик 1 раз, если вы не довольны выпавшим числом. Сколько вы готовы заплатить, чтобы сыграть в такую игру.

12.4.16 Разные олимпиадные задачи

150 ₽

Условие: Пятачок и Винни-Пух решили съесть квадратную шоколадку 7х7. Они поочередно по клеточкам выедают из нее кусочки: Пятачок \( 1 \times 1 \), Винни-Пух \( -2 \times 1 \) или \( 1 \times 2 \), (кусочки можно выедать не обязательно с краю). Первый ход делает Пятачок. Если перед ходом Винни-Пуха в шоколадке не осталось ни одного кусочка \( 2 \times 1 \) или \( 1 \times 2 \), то вся оставшаяся шоколадка достается Пятачку. Кто из друзей сможет съесть больше половины всей шоколадки вне зависимости от действий второго?

12.4.17 Разные олимпиадные задачи

120 ₽

условие: Есть восемь карточек с цифрами 0; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 8. Сколько существует различных семизначных чисел, делящихся на 15, которые можно сложить из этих карточек?

12.4.18 Разные олимпиадные задачи

130 ₽

условие: 144 теннисиста играют в турнире из 143 туров по следующей формуле: в каждом туре встречаются (по жребию) два спортсмена, количество побед которых на данный момент отличается не более чем на единицу, и проигравший выбывает из турнира. Какое наибольшее количество побед может одержать победитель турнира?

12.4.19 Разные олимпиадные задачи

150 ₽

условие: Решить систему уравнений: \[ \left\{\begin{array}{c} x+\frac{12 x-5 y}{x^{2}+y^{2}}=5 \\ y-\frac{5 x+12 y}{x^{2}+y^{2}}=-1 \end{array}\right. \]

12.5.5 Олимпиадная алгебра

200 ₽

условие: Решите в положительных целых числах \( x, y, z \) систему уравнений: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x}-20 y+15 z=18 \\ \frac{1}{y}-15 z+18 x=20 \\ \frac{1}{z}-18 x+20 y=15 \end{array}\right. \]

12.5.6 Олимпиадная алгебра

170 ₽

условие: Дано положительное число \( a \). Известно, что уравнение \( x^{3}+1=a x \) имеет ровно два положительных корня, и отношение большего из них к меньшему равно 2018. Уравнение \( x^{3}+1=a x^{2} \) также имеет ровно два положительных корня. Докажите, что отношение большего из них к меньшему также равно 2018.

12.5.7 Олимпиадная алгебра

170 ₽

условие: Функция \( f \) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке \( [a, b] \) и имеем на этом отрезке не менее трех различных нулей. Докажите, что существует точка \( x \in[a, b] \) такая, что выполнено равенство \( f(x)+f^{\prime \prime}(x)=2 f^{\prime}(x) \)

12.6.7 Высшая математика

200 ₽

Yсловие: Отрезок \( [a, b] \) выбирается так, чтобы значение интеграла \( I \) было максимальным. Найти значение \( b \). \[ I=\int_{a}^{b}\left(10+3 x-x^{2}\right) e^{x^{2}} d x \]

12.6.8 Высшая математика

120 ₽

‹
1
2
...
130
...
246
247
›