MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Пусть \( a=\operatorname{det}\left(a_{i k}\right) \) для тензора \( a_{i k} \). Доказать, что \( a=\frac{1}{6} \varepsilon_{i j k} \cdot \varepsilon^{m n p} \cdot a_{i m} \cdot a_{j n} \cdot a_{k p} \), где \( \varepsilon_{i j k} \) символ Леви - Чивиты.

1.11.8 Тензорное исчисление

70 ₽

Заданы ковариантный метрический тензор \( \left(g_{i j}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 5\end{array}\right) \) и тензор \( \left(a_{\cdot j k}^{i}\right)=\left(\begin{array}{ll|ll}3 & 4 & 2 & 5 \\ 5 & 7 & 1 & 3\end{array}\right) \). Найти матрицы тензоров: 1) \( a_{i j k} \), 2) \( a_{\cdot \cdot k}^{i j} \), 3) \( a_{\cdot j \cdot,}^{i \cdot k} \) 4) \( a^{i j k} \).

1.11.9 Тензорное исчисление

120 ₽

Задан тензор диэлектрической проницаемости: \( \varepsilon_{i j}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 5\end{array}\right) \), материал помещен в однородное поле с напряженностью \( E=E_{0}\{-2 ; 2 ; 1\} \). Найти: 1) тензор диэлектрической восприимчивости \( \alpha_{i j} \) диэлектрика 2) вектор поляризации \( P \), 3) вектор электрической индукции \( D \), 4) попарные углы между векторами \( E, P, D \).

1.11.10 Тензорное исчисление

150 ₽

Найти координаты вектора \( X \) в базисе \( e^{\prime}=\left\{e_{1}^{\prime} ; e_{2}^{\prime} ; e_{3}^{\prime}\right\} \), если в базисе \( e=\left\{e_{1} ; e_{2} ; e_{3}\right\} \) \( X=(1 ;-4 ; 8) \) и \( \left\{\begin{array}{l}e_{1}^{\prime}=e_{1}+e_{2}-3 e_{3} \\ e_{2}^{\prime}=\frac{3}{4} e_{1}-e_{2} \\ e_{3}^{\prime}=-e_{1}+e_{2}+e_{3}\end{array}\right. \)

1.1.6 Векторная алгебра

0 ₽

Заданы тензоры: \[ C=\left(C_{i j}\right)=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ -1 & 5 \end{array}\right), \quad A=\left(a^{i}\right)=(3 ; 1) \] Вычислить свертки \( a_{j}=C_{i j} a^{i}, b_{i}=C_{i j} \cdot a^{j} \), и скаляр \( u=C_{i j} \cdot a^{i} \cdot a^{j} \).

1.11.12 Тензорное исчисление

50 ₽

Найти координаты вектора \( X \) в базисе \( e^{\prime}=\left\{e_{1}^{\prime} ; e_{2}^{\prime} ; e_{3}^{\prime}\right\} \) если в базисе \( e=\left\{e_{1} ; e_{2} ; e_{3}\right\} \), \( X=(2 ; 6 ;-3) \), и преобразование от \( e \) к \( e^{\prime} \) есть \[ \left\{\begin{array}{l} e_{1}^{\prime}=e_{1}+e_{2}-2 e_{3} \\ e_{2}^{\prime}=\frac{2}{3} e_{1}-e_{2} \\ e_{3}^{\prime}=-e_{1}+e_{2}+e_{3} \end{array}\right. \]

1.1.7 Векторная алгебра

40 ₽

Заданы тензоры: \[ \left(C^{i j}\right)=C=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ -1 & 5 \end{array}\right), \quad d_{i j}=D=\left(\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 3 & 1 \end{array}\right) \] Вычислить свертки \( a_{k}^{j}=C^{i j} d_{i k}, b_{k}^{i}=C^{i j} d_{k j} \), и скаляр \( u=C^{i j} d_{i j} \).

1.11.11 Тензорное исчисление

50 ₽

Дана функция трех переменных \( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \). a) Найти стационарную точку функции \( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \), вычислить в ней значение функции и градиент. (В отчете указать метод решения системы уравнений). б) Определить экстремумы функции \( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \), если они есть. \[ \begin{array}{l} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+8 x_{2}^{2}+13 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}- \\ 8 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}-55 x_{1}-18 x_{2}-21 x_{3} . \end{array} \]

2.11.8 Экстремумы функций

120 ₽

Дана функция \( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \) и ограничения. a) Составить функцию Лагранжа; б) Определить стационарную точку функции Лагранжа; в) Определить экстремумы функции \( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{2}\right) \), если они есть. \[ \begin{array}{l} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=15 x_{1}^{2}+7 x_{2}^{2}+10 x_{3}^{2}+20 x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+ \\ +3 x_{2} x_{3}+10 x_{1}-25 x_{2}-20 x_{3}, \\ 11 x_{1}+20 x_{2}+10 x_{3}=300, \quad 21 x_{1}+60 x_{2}+x_{3}=270 . \end{array} \]

2.11.9 Экстремумы функций

120 ₽

Найти главный член в асимптотическом разложении функции: \[ F(\lambda)=\int_{-1}^{\infty} e^{-\lambda \sqrt{\frac{x^{2}}{1+x}}} d x . \]

2.12.18 Асимптотический анализ

220 ₽

Исследовать интеграл по параметру на равномерную сходимость: \[ \int_{0}^{1} \sin \left(x^{a}(\ln x)^{2}\right) d x, \quad a \leq a_{0}<1 \]

9.2.27 Интегралы зависящие от параметра

60 ₽

Найти общее решение линейного однородного уравнения первого порядка: \[ (x+2 y+1) \frac{\partial u}{\partial x}+(x-2 y) \frac{\partial u}{\partial y}=0 \]

11.4.8 Уравнения в частных производных 1-ого порядка

120 ₽

Найти общее решение линейного однородного уравнения первого порядка: \[ \left(x^{2}+y^{2}\right) \frac{\partial u}{\partial x}+x y \frac{\partial u}{\partial y}=0 \text {. } \]

11.4.9 Уравнения в частных производных 1-ого порядка

100 ₽

Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка: \[ y \cdot \frac{\partial z}{\partial x}-x \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=0 \]

11.4.10 Уравнения в частных производных 1-ого порядка

100 ₽

Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка: \[ (x+2 y) \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=0 . \]

11.4.11 Уравнения в частных производных 1-ого порядка

100 ₽

‹
1
2
...
76
...
246
247
›