MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Методом Лагранжа привести квадратичную форму \( x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1} \) к нормальному виду и найти соответствующее невырожденное преобразование переменных.

1.8.3 Квадратичные формы

100 ₽

\( \varphi \) - линейный оператор ранга 1. Доказать, что хотя бы один из операторов \( \varphi+\varepsilon, \varphi-\varepsilon \) обратим. ( \( \varepsilon- \) тождественный оператор).

1.7.7 Линейные преобразования

100 ₽

Привести к каноническому виду квадратичную форму \( 6 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+7 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3} \) и найти соответствующее ортогональное преобразование переменных.

1.8.4 Квадратичные формы

150 ₽

Для следующих форм найти невырожденное линейное преобразование, переводящее \( \phi о р м у ~ f(x) \) в форму \( g(y) \) (искомое преобразование определяется неоднозначно). \[ \begin{array}{l} f(x)=2 x_{1}^{2}+9 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+8 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-10 x_{2} x_{3} \\ g(y)=2 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+6 y_{3}^{2}-4 y_{1} y_{2}-4 y_{1} y_{3}+8 y_{2} y_{3} \end{array} \]

1.8.5 Квадратичные формы

100 ₽

Методом Лагранжа найти нормальный вид квадратичной формы: \[ f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3} . \]

1.8.6 Квадратичные формы

0 ₽

Выяснить, образует ли линейное пространство множество всех действительных чисел, если в нём определены сумма любых двух элементов \( a \) и \( b \), равная \( a+b \) и произведение любого элемента \( a \) на любое действительное число \( \varepsilon \), равное \( \varepsilon \cdot a \).

1.9.3 Линейные пространства

0 ₽

Доказать, что множество \( M \) функций \( x(t) \), заданных на области D, образует линейное пространство. Найти его размерность и базис. \[ M=\{\alpha+\beta \tan t+\gamma \cot t\}, \quad t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) . \]

1.9.4 Линейные пространства

100 ₽

Пусть \( V \)-линейное пространство всех симметричных многочленов степени не выше двух над \( \mathbb{R} \) от двух переменных \( x \) и \( y \). Выберите базис в пространстве \( V \) и найдите матрицу оператора \( L \) в этом базисе, если \[ L(f)(x, y)=(2 x+3 y) \frac{\partial f}{\partial x}+(3 x+2 y) \frac{\partial f}{\partial y} \text {. } \]

1.9.5 Линейные пространства

150 ₽

Доказать, что множество векторов \( L=\left\{\bar{a}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right) \mid \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}=0\right\} \) является подпространством пространства \( R^{n} \), а последовательность \( n \)-мерных векторов \( \bar{a}_{1}=(1,0, \ldots, 0,-1), \bar{a}_{2}=(0,1, \ldots, 0,-1), \ldots, \bar{a}_{n-1}= \) \( =(0,0, \ldots, 1,-1)- \) базис этого подпространства.

1.9.6 Линейные пространства

100 ₽

Доказать, что множество \( n \)-мерных векторов \( L=\{\bar{a}=\underbrace{(\alpha, \beta, \alpha, \beta, \ldots)}_{n} \mid \alpha, \beta \in R\} \quad \) является подпространством пространства \( \mathbb{R}^{n} \), найти базис и размерность этого подпространства.

1.9.7 Линейные пространства

100 ₽

Пусть \( M \) множество многочленов \( P \in \mathrm{P}_{n} \) с вещественными коэффициентами, удовлетворяющих указанным условиям. Доказать, что \( M \) - линейное подпространство в \( \mathrm{P}_{n} \), найти его базис и размерность. Дополнить базис \( M \) до базиса всего пространства \( \mathrm{P}_{n} \). \[ n=3, \quad M=\left\{P \in \mathrm{P}_{3} \mid P^{\prime \prime}(1)+P^{\prime}(0)=0\right\} \text {. } \]

1.9.8 Линейные пространства

120 ₽

Найти тензор инерции для следующих однородных сплошных тел, предполагая, что центр вращения совпадает с центром инерции, а масса тел равна \( m \) : 1) Прямоугольная пластина со сторонами \( a, b \), 2) Шар радиуса \( R \).

1.11.4 Тензорное исчисление

150 ₽

Тензор типа \( (1,2) \) в базисе \( \mathcal{E}=\left\{e_{1}, e_{2}\right\} \) пространства \( V_{2} \) задан матрицей \[ A=\left(\begin{array}{ll|ll} -4 & 2 & 3 & 4 \\ -5 & 3 & 5 & 7 \end{array}\right), \text { где }\left\{\begin{array}{l} e_{1}^{\prime}=e_{1}-e_{2} \\ e_{2}^{\prime}=-e_{1}+2 e_{2} \end{array} .\right. \] Найти матрицу тензора в базисе \( \mathcal{E}^{\prime}=\left\{e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}\right\} \).

1.11.5 Тензорное исчисление

130 ₽

\[ \begin{array}{l} \text { Заданы } \quad \text { векторы } \quad x_{1}=(3 ; 1), x_{2}=(5 ; 0) \text {, } \\ x_{3}=(1 ;-1) . \end{array} \] Найти компоненты тензора \[ x=x_{1} \otimes x_{2}+x_{2} \otimes x_{3} \text {. } \]

1.11.6 Тензорное исчисление

60 ₽

Дан тензор: \[ A=\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right)=a_{i j k} \] Найти компоненты тензоров: 1) \( a_{(i j) k} \), 2) \( a_{i(j k)} \), 3) \( a_{(i|j| k)} \), 4) \( a_{(i j k)} \).

1.11.7 Тензорное исчисление

120 ₽

‹
1
2
...
75
...
246
247
›