Преобразования матриц

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: a) Проверить справедливость равенства \( (N \cdot P)^{T}=P^{T} \cdot N^{T} \) для матриц: \[ N=\left(\begin{array}{lll} 0 & -1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{array}\right), P=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \] б) Верно ли, что если произведение матриц \( C \cdot D \) определено, то \( \left(D^{T} \cdot C^{T}\right)^{T}=C \cdot D \), ответ обосновать.

1.4.16 Преобразования матриц

80 ₽

условие: Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей \( A \). Доказать, что это оператор простого типа, привести его матрицу к диагональному виду (найти матрицу перехода к собственному базису и сделать проверку). Вычислить \( A^{n} \) для любого \( n \in \mathbb{N} \). \[ A=\left(\begin{array}{ll} -4 & 5 \\ -1 & 2 \end{array}\right) \]

1.4.17 Преобразования матриц

170 ₽

условие: Для матрицы \( L=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 4 & -1 & 1\end{array}\right) \) проверить: а) является ли матрица \( \frac{1}{2}\left(L-L^{T}\right) \) кососимметрической; б) справедливо ли равенство \( L^{2}=3 \cdot L \).

1.4.18 Преобразования матриц

80 ₽

Пусть линейный оператор ( widehat{A} ) в пространстве ( mathbb{V}_{3} ) геометрических векторов определяется действием отображения ( alpha ) на концы радиусвекторов точек трехмерного пространства. Пусть A - матрица оператора ( widehat{A} ) в каноническом базисе ( i, j, k ). Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы А. Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора ( widehat{A} ). Отображение ( alpha ) есть проектирование на плоскость ( x+y+z=0 ).

1.4.19 Преобразования матриц

150 ₽

В пространстве ( mathbb{V}_{3} ) геометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базиса ( S_{1}=left{e_{1}, e_{2}, e_{3} ight} ) заданы координатами в базисе ( i, j, k ). 1) Найдите матрицу Грама ( G_{1} ) скалярного произведения в этом базисе. Выпишите формулу для длины вектора через его координаты в базисе ( S_{1} ). 2) Ортогонализируйте базис ( S_{1} ). Сделайте проверку ортонормированности построенного базиса ( S_{2} ) двумя способами: a) выписав координаты вектора из ( S_{2} ) в каноническом базисе ( i, j, k ). б) убедившись, что преобразование матрицы Грама при переходе от базиса ( S_{1} ) к базису ( S_{2} ) (по формуле ( G_{2}=P^{T} G_{1} P ), где ( P )-матрица перехода от базиса ( S_{1} ) к базису ( S_{2} ) ) приводит к единичной матрице. ( e_{1}=(1,0,2), quad e_{2}=(2,1,1), quad e_{3}=(1,1,0) ).

1.4.20 Преобразования матриц

250 ₽

условие: Дана матрица \( M=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right) \) : a) найти минор и алгебраическое дополнение элемента \( m_{23} \) матрицы \( M \); б) вычислить определитель матрицы \( M \) методом разложения по 2-ой строке; в) показать, что матрица \( M \) обратима и найти матрицу обратную матрице \( M\left(M^{-1}\right) \), сделать проверку (т.е. показать, что \( M M^{-1}=E \) ).

1.4.21 Преобразования матриц

80 ₽

Условие: Дана матрица \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -1 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & -2\end{array}\right) \) : a) найти собственные значения матрицы \( A \); б) найти собственные векторы матрицы \( A \); c) выяснить, подобна ли матрица \( A \) диагональной матрице и, если подобна, то найти матрицы \( C \) и \( D(D- \) диагональная матрица) такие, что \( A=C D C^{-1} \).

1.4.22 Преобразования матриц

120 ₽

Линейное преобразование трехмерного многочлена переводит вектор ( a_{i} ) в вектор ( b_{i}(i=1,2,3) ); a) Показать, что такое преобразование существует и единственно. б) Найти матрицу преобразования в базисе ( a_{1}, a_{2}, a_{3} ). в) Найти матрицу преобразования в стандартном базисе ( e ). г) Найти ядро и образ данного преобразования. д) Диагонализируемо ли преобразование? Если да, то указать диагональный вид и найти базис, в котором матрица преобразования диагональна. [ egin{array}{lll} a_{1}=(1,-1,1), & a_{2}=(1,2,0), & a_{3}=(1,1,1), \ b_{1}=(2,-2,0), & b_{2}=(7,4,10), & b_{3}=(4,2,6) . end{array} ]

1.4.23 Преобразования матриц

700 ₽

Условие: Верно ли, что всякую квадратную матрицу с определителем, равным -1 , можно элементарными преобразованиями строк привести к матрице \( 3 E \), где \( E \)-единичная матрица?

1.4.24 Преобразования матриц

130 ₽

условие: Найти собственные значения и собственные векторы матрицы \( A \). \[ A=\left(\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 21 \\ 21 & 0 & 16 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \]

1.4.25 Преобразования матриц

100 ₽

Условие: Выполнить процесс ортогонализации ГрамаШмидта дла базиса \( \left(\overline{l_{1}}, \overline{l_{2}}, \overline{l_{3}}\right) \). Найти матрицу перехода \( S \) от базиса \( \left(\overline{l_{1}}, \overline{l_{2}}, \overline{l_{3}}\right) \) к базису \( \left(\overline{g_{1}}, \overline{g_{2}}, \overline{g_{3}}\right) \). \( \overline{l_{1}}=(1,-1,1), \overline{l_{2}}=(-5,-3,1), \overline{l_{3}}=(2,-1,0) \).

1.4.26 Преобразования матриц

150 ₽

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) Вычислить значение функции от матрицы. \[ \cos \left(\frac{\pi}{2} A\right), \quad \text { где } A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -8 & -5 & -4 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}\right) \]

1.4.27 Преобразования матриц

230 ₽

условие: Доказать, что формула \( \quad \varphi(X)=A^{T} X A \) определяет линейное преобразование пространства симметрических матриц \( \left(X^{T}=X\right) \). Найти жорданов базис и жорданову форму преобразования. \[ A=\left(\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ -1 & -1 \end{array}\right) \]

1.4.28 Преобразования матриц

300 ₽

Условие: Построить жорданов базис, найти жорданову форму и минимальный аннулирующий многочлен матрицы. \[ \left(\begin{array}{cccccc} -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & -2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \]

1.4.29 Преобразования матриц

500 ₽

Условие: Пусть \( A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n+1}- \) матрицы размера \( n \times n \). Доказать, что найдутся \( n+1 \) чисел \( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} \), не равные нулю одновременно, такие, что матрица \( x_{1} A_{1}+\cdots+x_{n+1} A_{n+1} \) вырождена.

1.4.30 Преобразования матриц

100 ₽