MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

условие: Вычислить определенный интеграл: \[ \int_{5 / 2}^{10 / 3} \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2})(x-2)^{2}} d x . \]

9.3.3.4 Определенные интегралы

80 ₽

Условие: Вычислить определенный интеграл: \[ \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{\sqrt{x\left(4-x^{2}\right)^{3}}} \]

9.3.3.5 Определенные интегралы

50 ₽

условие: Вычислить определенный интеграл: \[ \int_{1}^{e^{\pi / 2}} \cos \ln x d x . \]

9.3.3.6 Определенные интегралы

40 ₽

Условие: В треугольник \( T C S \) вписали окружность \( P \). Найдите периметр трапеции, образованный стороной \( T C \) и прямой, проходящей через центр \( P \) и параллельной \( T C \), если основания трапеции равны 3 и 5 .

12.1.4 Олимпиадная геометрия

150 ₽

условие: Мальвина и Буратино играют по следующим правилам: Мальвина записывает на доске в ряд шесть различных чисел, а Буратино придумывает для них свои четыре числа \( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \) и под каждым числом Мальвина пишет соответственно какую-либо из сумм \( x_{1}+x_{2}, x_{1}+x_{3}, x_{1}+x_{4}, x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{4}, x_{3}+x_{4} \) (каждую по разу), после чего за каждую сумму, равную стоящему над ней числу, Буратино получает по 3 яблока, а за большую его - по 1 яблоку. Какое наибольшее количество яблок может гарантированно получить Буратино?

12.4.1 Разные олимпиадные задачи

200 ₽

условие: Собралось \( n \) человек, каждые двое из которых либо знакомы, либо имеют ровно одного общего знакомого. При этом нет никого, кто был бы знаком со всеми. Докажите, что \( n-1 \) квадрат целого числа.

12.4.2 Разные олимпиадные задачи

200 ₽

условие: В классе, состоящем из 21 ученика, любые три ученика ровно один раз делали вместе домашнее задание, причем либо по математике, либо по русскому языку. Можно ли утверждать, что в этом классе существует четверка учеников, любые трое из которых делали вместе домашнее задание по одному и тому же предмету?

12.4.3 Разные олимпиадные задачи

150 ₽

Условие: Петя, выходя из дома, посмотрел на часы и увидел, что прямая, делящая пополам угол между часавой и минутной стрелкой, проходит через цифру 12. Когда он пришел в школу, прямая, делящая пополам угол между часавой и минутной стрелкой, проходила через отметку, соответствующую 13 минутам. Сколько времени шел Петя из дома до школы, если известно, что он вышел после 8:00, а в школу пришел до 9:00?

12.4.4 Разные олимпиадные задачи

200 ₽

условие: Решить неравенство: \[ \frac{\sqrt{x}}{x-2} \leq 3 \sqrt{x} \]

12.3.1.1 Алгебраические

30 ₽

Условие: Какое наибольшее значение может принять выражение \[ \left(1-a^{2}\right) \sqrt{1-b^{2}}-\left(1-b^{2}\right) \sqrt{1-a^{2}} \]

12.3.1.2 Алгебраические

100 ₽

условие: В каждую из \( n \) точек с координатами \( x= \) \( 1, x=2, \ldots, x=n \) положили по одному камню в порядке возрастания их веса. Вес самого легкого камня равен 3 кг. Вес каждого следующего камня меньше на 1 кг, чем удвоенный вес предыдущего. Найти суммарный вес первых 10 камней. Для каких \( n(9

12.2.4 Теория чисел

300 ₽

условие: Исследовать устойчивость системы в нулевой точке покоя. \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d t}=\tan ^{-1} \frac{A x}{\sqrt{1-(A x)^{2}}}+B \sin \left(\frac{\pi}{2}-y\right)-(B-y) e^{-D y} \\ \frac{d x}{d t}=C \cdot \cosh y+D \cdot \sinh (A x)-C \end{array}\right. \] \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline\( A \) & \( B \) & \( C \) & \( D \) \\ \hline- & + & - & + \\ \hline \end{tabular}

8.4.1.2 Устойчивость систем

250 ₽

условие: Исследовать устойчивость системы в нулевой точке покоя. \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d t}=\tan ^{-1} \frac{A x}{\sqrt{1-(A x)^{2}}}+B \sin \left(\frac{\pi}{2}-y\right)-(B-y) e^{-D y} \\ \frac{d x}{d t}=C \cdot \cosh y+D \cdot \sinh (A x)-C \end{array}\right. \] \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline\( A \) & \( B \) & \( C \) & \( D \) \\ \hline- & - & + & + \\ \hline \end{tabular}

8.4.1.4 Устойчивость систем

250 ₽

Условие: Найти точки покоя (равновесия) системы и исследовать устойчивость системы в них. \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d t}=A \sin y+C x e^{-\frac{B}{D} x} \\ \frac{d x}{d t}=B \sinh (A x)+D \tan (C y) \end{array}\right. \] \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline\( A \) & \( B \) & \( C \) & \( D \) \\ \hline+ & + & - & - \\ \hline \end{tabular}

8.4.1.3 Устойчивость систем

250 ₽

Условие: Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами: \[ \frac{1}{49}(7 x-8)^{2} y^{\prime \prime}-\frac{1}{7}(7 x-8) y^{\prime}-3 y=-5|7 x-8|^{-6} \text {. } \]

8.1.2.7 Дифференциальные уравнения 2-ого порядка

100 ₽

‹
1
2
...
33
...
246
247
›