Разные задачи на плоскости

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

условие: В треугольнике \( A B C \) точки \( M, N, K \) расположены соответственно на сторонах \( A B, B C, A C \) так, что \( A M: M B=1: 2 \), \( C N: N B=1: 3, A K=K C \). Отрезки \( M N \) и \( B K \) пересекаются в точке \( P \). Найдите отношение \( M P: P N \) и \( B P: P K \).

5.2.4.31 Разные задачи на плоскости

170 ₽

Условие: В треугольнике \( A B C \) точки \( M, N, K \) расположены соответственно на сторонах \( A B, B C, A C \) так, что \( A M: M B=1: 2 \), \( C N: N B=1: 3, A K=K C \). Отрезки \( M N \) и \( B K \) пересекаются в точке \( P \). Найдите о B трапеции \( A B C D \) с основаниями \( A D \) и \( B C \) такими, что \( A D: B C=5: 3 \), диагонали пересекаются в точке \( M \). Выразите векторы \( \overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}, \overrightarrow{M C}, \overrightarrow{M D} \) через векторы \( \vec{a}=\overrightarrow{A B} \) и \( \vec{b}=\overrightarrow{B C} \)

5.2.4.32 Разные задачи на плоскости

60 ₽

Условие: В параллелограмме \( A B C D \) длина диагонали \( B D \) равна 2 , угол \( C \) равен \( 45^{\circ} \), причем прямая \( C D \) касается окружности, описанной около треугольника \( A B D \). Найдите площадь параллелограмма \( A B C D \).

5.2.4.33 Разные задачи на плоскости

80 ₽

Условие: В трапеции \( A B C D \) основание \( A D \) больше основания \( B C \). Известно, что \( A D=C D= \) \( =14 / 3, \quad \angle B A D=\pi / 2, \quad \angle B C D=5 \pi / 6 . \quad \mathrm{Ha} \) основании \( A D \) построен треугольник \( A E D \). Точки \( B \) и \( E \) лежат по одну сторону от \( A D \) и \( A E=E D \). Длина высоты, опущенной из точки \( E \) на прямую \( A D \) равна \( 7 / 5 \). Найти площадь общей части трапеции \( A B C D \) и треугольника \( A E D \).

5.2.4.34 Разные задачи на плоскости

150 ₽

Условие: Две окружности касаются внешним образом в точке \( K \). Прямая \( A B \) касается первой окружности в точке \( A \), а второй - в точке \( B \). Прямая \( B K \) пересекает первую окружность в точке \( D \), прямая \( A K \) пересекает вторую окружность в точке \( C \). a) Докажите, что треугольник \( A K B \) и \( D K C \) имеют равные площади. б) Найдите площадь треугольника \( A K B \), если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

5.2.4.35 Разные задачи на плоскости

200 ₽

условие: Средняя линия четырехугольника равна полусумме двух его сторон, не имеющих с ней общих точек. Докажите, что данный четырехугольник-трапеция или параллелограмм.

5.2.4.36 Разные задачи на плоскости

80 ₽

условие: Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен ее основаниям и равен их среднему арифметическому. Верно ли, что данный отрезок-средняя линия трапеции?

5.2.4.37 Разные задачи на плоскости

100 ₽

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) Прямая, проходящая через середины диагоналей четырехугольника, образует с его сторонами углы \( 50^{\circ} \) и \( 80^{\circ} \). Докажите, что расстояние между серединами диагоналей равно половине одной из сторон четырехугольника.

5.2.4.38 Разные задачи на плоскости

130 ₽

Условие: B выпуклом четырехугольнике \( A B C D \) диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке \( E \). Пусть \( A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}- \) точки симметричные \( E \) относительно прямых \( A B, B C, C D, D A \) соответственно. Докажите, что четырехугольник \( A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}- \) вписанный.

5.2.4.39 Разные задачи на плоскости

200 ₽

Условие: Пусть \( I \) - центр вписанной в треугольник \( A B C \) окружности, а \( J \)-центр вневписанной окружности. Докажите, что описанная окружность пересекает \( I J \) в его середине. (Эта точка по традиции Русановского лицея обозначается \( W \), а утверждение - часть леммы о трилистнике.)

5.2.4.40 Разные задачи на плоскости

200 ₽

Условие: В треугольнике \( A B C \) на стороне \( A B \) выбрана точка \( M \), а на стороне \( A C \) точка \( N \). Отрезки \( C M \) и \( B N \) пересекаются в точке \( K \). Чему равна площадь треугольника \( A M N \), если \( B K: K N=9: 4 \), площадь треугольника \( B K C \) равна 6/13, а площадь треугольника \( M K N \) равна \( 36 / 247 ? \)

5.2.4.41 Разные задачи на плоскости

150 ₽

Условие: Биссектрисы внешних углов при вершинах \( A \) и В треугольника \( A B C \) пересекаются в точке \( J \), причем \( A J=B J \). Найдите \( A C \), если \( \angle A B C=\beta \), а радиус окружности, описанной около треугольника \( A B C \), равен \( R \).

5.2.4.42 Разные задачи на плоскости

150 ₽

условие: Дан выпуклый четырехугольник \( A B C D \). Прямые \( A D \) и \( B C \) пересекаются в точке \( N, \mathrm{a} \) прямые \( C D \) и \( A B \) в точке \( M \). Отношение отрезков \( C D \) и \( C M \) равно \( 22: 3 \), площадь треугольника \( A B N \) равна \( 2 / 11 \), а площадь треугольника \( B M N-3 / 11 \). Найти площадь треугольника \( A C D \).

5.2.4.43 Разные задачи на плоскости

150 ₽

условие: В треугольнике \( A B C \) центр окружности, проведенной через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла \( C \). Найдите угол \( C \). (Эта окружность - окружность девяти точек)

5.2.4.44 Разные задачи на плоскости

200 ₽

Условие: На сторонах \( A C \) и \( A B \) треугольника \( A B C \) взяты соответственно точки \( M \) и \( N \) так, что \( A M: M C=9: 1, A N: N B=4: 5 \). Найти отношение \( B O: O M \).

5.2.4.45 Разные задачи на плоскости

130 ₽