MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

условие: Докажите, что оператор \( A x(t)=\lambda \int_{0}^{t} x(s) d s+1 \) при \( |\lambda|<1 \) является сжимающим в \( C[0,1] \). Найдите неподвижную точку этого оператора при \( \lambda=0.5 \). Сделайте три итерации методом последовательных приближений \( \left(x_{0}(t)=0\right) \). Найдите относительную и абсолютную погрешности найденных приближенных решений.

19.3.13 Линейные операторы

200 ₽

условие: Оператор \( A \) отображает пространство \( E_{1} \) в пространство \( E_{2} \). Найти норму оператора \( A \). Интегральный оператор \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline\( L_{2}[0,2] \) & \( L_{2}[0,1] \) & \( (A x)(t)=\int_{0}^{2}(t+1) s^{2} x\left(s^{2}\right) d s \) \\ \hline \end{tabular}

19.3.14 Линейные операторы

150 ₽

Условие: Докажите, что следующие функционалы в пространстве \( C[-1,1] \) являются линейными непрерывными и найдите их нормы. a) \( f(x)=\frac{1}{3}(x(-1)+x(1)) \), б) \( f(x)=2(x(1)-x(0)) \), в) \( f(x)=\int_{0}^{1} x(t) d t \), г) \( f(x)=\int_{-1}^{1} x(t) d t-x(0) \), д) \( f(x)=\int_{-1}^{1} t x(t) d t \)

19.3.15 Линейные операторы

400 ₽

условие: Дан оператор \[ A x(t)=3 x(t)+(7 t-3) x^{\prime}(t)+\int_{0}^{t}(4 s-3) x^{\prime \prime}(s) d s \] в пространстве \( P^{2} \) многочленов степени \( \leq 2 \). Проверьте, что \( A ; P^{2} \rightarrow P^{2} \) линейный оператор и найдите: a) матрицу этого оператора в каноническом базисе \( \left\{1, t, t^{2}\right\} \) б) матрицу этого оператора в базисе \[ \left\{1-2 t, 3 t+t^{2}, 2+3 t^{2}\right\} \] в) ядро \( \operatorname{Ker} A \) оператора \( A \); г) ядро \( \operatorname{Ker} A \) оператора \( A: C^{2}[0,1] \rightarrow C^{2}[0,1] \).

19.3.16 Линейные операторы

300 ₽

Условие: Докажите, что следующий оператор является линейным, ограниченным и найдите его норму: \[ A: \mathbb{R}_{2}^{3} \rightarrow \mathbb{R}_{2}^{3}, \quad A\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \]

19.3.17 Линейные операторы

100 ₽

Условие: Докажите, что следующий оператор является линейным, ограниченным и найдите его норму: \( A: C[-1,1] \rightarrow C[-1,1] \) \[ A x(t)=\int_{-1}^{1} x(s) d s-\int_{0}^{1} s x(s) d s \]

19.3.18 Линейные операторы

180 ₽

условие: Докажите, что следующий оператор является линейным, ограниченным и найдите его норму: \[ A: C_{2}[0,1] \rightarrow C_{2}[0,1], \quad A x(t)=t \int_{0}^{1} x(s) d s \]

19.3.20 Линейные операторы

150 ₽

условие: Найдите норму матричного оператора \( A: \mathbb{R}_{2}^{3} \rightarrow \mathbb{R}_{2}^{3} \) (в евклидовой метрике): \[ A=\left(\begin{array}{ccc} 15 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & -2 \\ 0 & -2 & 3 \end{array}\right) \]

19.3.22 Линейные операторы

130 ₽

Условие: Докажите, что оператор \( A: C[0,1] \rightarrow C[0,1] \), \( (A x)(t)=x(t)+\lambda \int_{0}^{1} e^{s+t} x(s) d s \quad \) имеет ограниченный обратный оператор \( A^{-1} \) и найдите его.

19.3.23 Линейные операторы

100 ₽

Условие: В вещественном линейном пространстве \( C[-\pi ; \pi] \) найдите собственные значения собственные векторы оператора \[ A x(t)=\int_{0}^{\pi} \cos (t+s) x(s) d s \text {. } \]

19.3.24 Линейные операторы

150 ₽

Условие: В вещественном линейном пространстве \( C[0, \pi] \) найдите собственные значения и собственные векторы оператора \( A x(t)=x^{\prime \prime}(t) \), если оператор определен на множестве \[ D(A)=\left\{x \in C[0, \pi]: x^{\prime \prime} \in C[0, \pi], x(0)=x(\pi)=0\right\} . \]

19.3.25 Линейные операторы

120 ₽

условие: Найдите оператор, сопряженный к оператору \( A: l_{1} \rightarrow l_{1} \) если: a) \( A x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, 0, \ldots\right) \), б) \( A x=\left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \ldots\right), \quad\left|\lambda_{n}\right| \leq 1 \forall n \), в) \( A x=\left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots\right) \), г) \( A x=\left(x_{2}, x_{3}, \ldots\right) \)

19.3.26 Линейные операторы

100 ₽

Условие: Доказать, что множество \[ A=\left\{e^{-a t}, a \in[0,2]\right\} \text { компактно. } \]

19.5.4 Компактность

100 ₽

Условие: Компактны ли следующие множества функций в пространстве \( C[0,1] \) : \[ \{\sin (n+t): n \in \mathbb{N}\} \]

19.5.9 Компактность

300 ₽

Условие: Найти интеграл Лебега \( \int_{[0 ; 2]} f d \mu \quad \) от функции \( f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{5}, & \text { если } x \text { рациональное, } \\ x, & \text { если } x \text { иррациональное алгебраическое, } \\ x^{2}, & \text { если } x \text { трансцендентное. }\end{aligned}\right. \)

19.6.1.14 Мера и интеграл Лебега

150 ₽

‹
1
2
...
132
...
246
247
›