MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: Решить уравнение \( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+1=0 \).

17.65 Задачи ЕГЭ

30 ₽

Условие: Найти область определения функции: \[ y=\frac{2-x}{\sqrt{x^{2}-4}} \]

17.66 Задачи ЕГЭ

30 ₽

Условие: Пусть \( \rho(m, n)=\left\{\begin{array}{c}1+(m+n)^{-1}, \quad m \neq n \\ 0, \quad m=n\end{array}, m, n \in \mathbb{N}\right. \), ( \( \mathbb{N} \)-множество всех натуральных чисел). Является ли пара \( (\mathbb{N}, \rho) \) - метрическим пространством?

19.1.1.11 Свойства метрические пространств

60 ₽

Условие: Пусть \( \rho(x, y)- \) метрика на множестве \( X \). Докажите, что функции \[ \begin{array}{l} \rho_{1}(x, y)=\frac{\rho(x, y)}{1+\rho(x, y)} \\ \rho_{2}(x, y)=\ln (1+\rho(x, y)), \\ \rho_{3}=\min \{1, \rho(x, y)\} \end{array} \] также являются метриками.

19.1.1.12 Свойства метрические пространств

150 ₽

Условие: В пространстве \( C[0,2] \) найдите расстояние между функциями: a) \( x(t)=2 \sin \pi t, \quad y(t)=2 \cos \pi t \) б) \( x(t)=t^{2}, \quad y(t)=6 t \)

19.1.1.13 Свойства метрические пространств

100 ₽

Условие: В пространствах \( C[0,2], \quad C_{1}[0,2], \quad C_{2}[0,2] \) найдите расстояние между функциями: a) \( x(t)=t^{2}, \quad y(t)=3 t+4 \) б) \( x(t)=t^{2}-8 t-1, \quad y(t)=-4 t+3 \).

19.1.1.14 Свойства метрические пространств

200 ₽

Условие: Являются ли метрикой на вещественной прямой следующие функции: a) \( \rho(x, y)=\sin ^{2}(x-y) \) б) \( \rho(x, y)=\sqrt{|x-y|} \) в) \( \rho(x, y)=\left|e^{x}-e^{y}\right| \).

19.1.1.3 Свойства метрические пространств

120 ₽

условие: Сходится ли последовательность \( \left\{x_{n}\right) \), \( x_{n}=\left(1, \frac{1}{\sqrt{2}}, \ldots, \frac{1}{\sqrt{n}}, 0, \ldots\right) \) в пространстве \( l_{3} \) ?

19.1.2.5 Сходимость в метрические пространствах

130 ₽

Условие: Покажите эквивалентность норм \( \|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2} \) и \( \|\cdot\|_{\infty} \quad \) в \( \quad \) конечномерном нормированном пространстве \( X \), т.е. найдите такие положительные константы \( c_{1} \) и \( c_{2} \), чтобы для любой пары норм \( \|\cdot\|^{\prime} \) и \( \|\cdot\|^{\prime \prime} \) выполнялось двойное неравенство \( c_{1}\|x\|^{\prime} \leq\|x\|^{\prime \prime} \leq c_{2}\|x\|^{\prime} \) для всех \( x \in X \).

19.2.1.6 Свойства нормированные пространств

100 ₽

Условие: Покажите, что нормы \( \|x\|_{c}=\max _{0 \leq t \leq 1}|x(t)| \) и \( \|x\|_{c_{1}}=\int_{0}^{t}|x(t)| d t \quad \) не \( \quad \) эквиваленты \( \quad \) в пространстве \( c[0,1] \). Указание: исследуйте на сходимость в этих нормах последовательность \( x_{n}(t)=t^{n} \).

19.2.2.10 Сходимость в нормированные пространствах

100 ₽

Условие: Найдите предел последовательности, если он существует: \[ x_{n}(t)=\frac{n t}{1+n^{2} t^{2}} \quad \text { в } C[0,1] \text { и } C_{1}[0,1] \]

19.2.2.11 Сходимость в нормированные пространствах

150 ₽

условие: Исследуйте последовательность операторов \( \left\{A_{n}\right\} \subseteq L(X, X) \) на поточечную и равномерную (по норме) сходимость в следующих случаях: a) \( X=l_{2}, \quad A_{n} x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, 0, \ldots\right), \quad x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right) \in l_{2} \). б) \( X=l_{2}, \quad A_{n} x=\left(x_{n+1}, x_{n+2}, 0, \ldots\right), \quad x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right) \in l_{2} \). в) \( X=C[0,1], \quad\left(A_{n} x\right)(t)=t^{n}(1-t) x(t), \quad t \in[0,1] \). д) \( X=C[0,1], \quad\left(A_{n} x\right)(t)=t^{n} x(t), \quad t \in[0,1] \).

19.2.2.12 Сходимость в нормированные пространствах

600 ₽

Условие: Найдите приближенное решение уравнения методом последовательных приближений, подобрав параметр, гарантирующий сжимаемость отображения: a) \( \frac{1}{x}=x^{2}+3 x \) б) \( 5 x^{3}-20 x+3=0 \).

19.3.27 Линейные операторы

200 ₽

Условие: Является ли отображение \[ \left\{\begin{array}{l} y_{1}=0.1 x_{1}-0.3 x_{2} \\ y_{2}=0.4 x_{1}+0.1 x_{2} \end{array} \text { сжимающим в } \mathbb{R}_{1}^{2}, \mathbb{R}_{2}^{2}, \mathbb{R}_{\infty}^{2} ?\right. \]

19.3.28 Линейные операторы

200 ₽

Условие: Найдите спектр \( \sigma(A) \) и резольвенту \( R_{\lambda}(A) \) оператора \( A x(t)=\int_{0}^{t} x(s) d s \) в пространстве \( C[0,1] \)

19.3.29 Линейные операторы

200 ₽