MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Сумма углов при большом основании трапеции равна 90°. Доказать, что длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон трапеции равны.

5.2.4.16 Разные задачи на плоскости

100 ₽

В треугольнике \( A B C \) сторона \( A B \) имеет длину \( \sqrt{3} \), высота \( C D \), опущенная на сторону \( A B \), имеет длину 3. Основание \( D \) высоты \( C D \) лежит на стороне \( A B \), длина отрезка \( A D \) равна длине отрезка \( B C \). Найти длину стороны \( A C \).

5.2.4.17 Разные задачи на плоскости

50 ₽

В выпуклом четырехугольнике \( A B C D \) диагонали пересекаются в точке \( M \), причем \( C M=D M \). Найдите угол между прямой \( C D \) и биссектрисой угла \( B A C \), если известен угол \( A B M=78^{\circ} \).

5.2.4.18 Разные задачи на плоскости

120 ₽

Через три вершины квадрата проведены параллельные прямые. Расстояния между ними равны 2, 5 и 7. Найти все допустимые значения длины стороны квадрата.

5.2.4.19 Разные задачи на плоскости

150 ₽

В остроугольном треугольнике \( A B C \) высота \( A H \) равна медиане \( B M \), а две оставшиеся высоты не превосходят \( B M \). Какое наибольшее значение может принимать угол \( A B C \) при этих условиях?

5.2.4.20 Разные задачи на плоскости

200 ₽

В треугольнике \( A B C \) на стороне \( A B \) выбраны точки \( K \) и \( L \), так, что \( A K=K L=L B \), а на стороне \( B C \) - точки \( M \) и \( N \), так, что \( B M: M N: N C= \) \( 1: 2: 1 \). Найдите площадь треугольника \( A B C \), если известно, что площадь четырехугольника \( K L M N \) равна 20.

5.2.4.21 Разные задачи на плоскости

200 ₽

Дана трапеция с суммой длин оснований 18 и боковыми сторонами, равными 3 и 5. Прямая \( \ell \) пересекает основания так, что площадь трапеции разбивается пополам и периметры двух четырехугольников, на которые разбивается трапеция, относятся как 8:9. Найти длину отрезка прямой \( \ell \), концы которого лежат на основаниях трапеции.

5.2.4.22 Разные задачи на плоскости

150 ₽

В треугольнике \( A B C \) со сторонами \( A B=8 \) и \( A C=5 \) проведена высота \( A D \). Найдите площадь круга, описанного около треугольника, если известно, что одно из расстояний от точки \( D \) до концов стороны \( B C \) вдвое больше другого.

5.2.4.23 Разные задачи на плоскости

150 ₽

В угол величиной \( 60^{\circ} \) с вершиной \( O \) вписана окружность радиуса \( 2 \sqrt{3} \), касающаяся сторон угла в точках \( A \) и \( B \). На продолжении отрезка \( O A \) за точку \( A \) взята точка \( P \) так, что \( A P=2 \). Через точку \( P \) проведена прямая, пересекающая окружность в точках \( M \) и \( N \), а луч \( O B \) - в точке \( Q \), причем \( \quad P M=N Q \). Найдите площадь треугольника \( O P Q \), если известно, что она не превосходит 27.

5.2.4.24 Разные задачи на плоскости

170 ₽

В правильном треугольнике \( A B C \) со стороной 12 на стороне \( B C \) как на диаметре построена полуокружность, не имеющая общих точек с треугольником \( A B C \), кроме точек \( B \) и \( C \). Она разделена точками \( A_{1} \) и \( A_{2} \) на три равные дуги \( B A_{1}=A_{1} A_{2}=A_{2} C \). Найти длины отрезков, на которые делят сторону \( B C \) прямые \( A A_{1} \) и \( A A_{2} \).

5.2.4.25 Разные задачи на плоскости

170 ₽

Дан треугольник CSJ. На продолжении стороны \( J C \) за точку \( J \) выбрана точка \( Q \). Некоторая прямая, проходящая через \( Q \), пересекает отрезок \( C S \) в точке \( Z \) и отрезок \( J C \) в точке \( H \). Чему равна площадь треугольника \( Z J S \), если \( J S: J Q=3: 4 \), площадь треугольника \( C H Q \) равна 28 , а площадь треугольника \( C H Z \) равна 10,5 ?

5.2.4.26 Разные задачи на плоскости

170 ₽

Найти допустимые экстремали в задаче со свободными концами: \[ \begin{array}{l} F(x)=\int_{0}^{1}\left(\dot{x}^{2}+4 x^{2}\right) d t \rightarrow e x t r, \\ x(1)=\frac{e^{2}+e^{-2}}{2} . \end{array} \]

4.4 Вариационное исчисление

100 ₽

Найти сильные экстремумы функционала: \[ \begin{array}{l} F(x)=\int_{0}^{1}\left(\dot{x}^{2}-x^{2}\right) d t \rightarrow e x t r \\ x(0)=1, \quad x(1)=\cos 1 . \end{array} \]

4.5 Вариационное исчисление

150 ₽

условие: Найти сильные экстремумы функционала: \[ \begin{array}{l} F(x)=\int_{4}^{-2}\left(\dot{x}^{2}+4 x^{2}\right) d t \rightarrow \text { extr } \\ x(-4)=16, \quad x(-2)=4 . \end{array} \]

4.6 Вариационное исчисление

150 ₽

Пусть \( \quad M=C[a ; b] \) - совокупность всех непрерывных функций \( y(x) \), данных на отрезке \( [a ; b] \). Дан функционал \( I[y(x)]=\pi \int_{a}^{b} y^{2}(x) d x \). Подобрать три разные функции, принадлежащие \( C[a ; b] \), и получить соответствующие значения \( I[y(x)] \), взяв конкретные a и \( \mathrm{b} \).

4.7 Вариационное исчисление

50 ₽

‹
1
2
...
19
...
246
247
›