MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

условие: Пусть \( \varphi-г о м о м о р ф и з м ~ \mathbb{Z} / 30 \mathbb{Z} \) в \( \mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z} \) такой, что \( \operatorname{Ker}(\varphi)=\{0,6,12,18,24\} \). Докажите, что \( \varphi- \) сюръективный. Какие возможные значения может принимать \( \varphi(1) \) ?

1.6.60 Поля, группы, кольца

150 ₽

Условие: Построить гомоморфизм аддитивной группы рациональных чисел, ядром которого является подгруппа целых чисел. Проверьте, что фактор группа по этому ядру имеет бесконечный порядок, хотя все ее элементы имеют конечный порядок.

1.6.61 Поля, группы, кольца

150 ₽

условие: Пусть \( \mathbb{Z}[x]- \) аддитивная группа полиномов с целыми коэффициентами. Рассмотрим подгруппу \( H \) группы \( \mathbb{Z}[x] \) такую, что в ней все полиномы делятся на \( (x-3) \). Доказать, что \( \mathbb{Z}[x] / H \cong \mathbb{Z} \).

1.6.62 Поля, группы, кольца

220 ₽

условие: Доказать, что если \( H- \) собственная подгруппа конечной группы \( G \), то объединение сопряженных с \( H \) подгрупп не содержит всех элементов группы.

1.6.63 Поля, группы, кольца

180 ₽

условие: Укажите такую Абелеву группу \( G \) и две такие ее изоморфные подгруппы \( H_{1} \) и \( \mathrm{H}_{2} \), что группы \( G / H_{1} \) и \( G / H_{2} \) неизоморфны.

1.6.64 Поля, группы, кольца

130 ₽

условие: Доказать, что всякая подгруппа индекса 2 является нормальной.

1.6.65 Поля, группы, кольца

100 ₽

условие: Пусть группа \( A \)-абелева. Рассмотрим подгруппу \( D=\{(a, a): a \in A\} \) группы \( A \times A \). Доказать, что \( D- \) нормальная подгруппа и \( (A \times A) / D \) изоморфна \( A \).

1.6.66 Поля, группы, кольца

130 ₽

\( \underline{\mathrm{y}_{\text {словие: }}} \) Доказать, что подгруппа, порожденная некоторым классом сопряженных элементов группы \( G \), является нормальной подгруппой \( G \). Указание. Верно и обратное, нормальная подгруппа вместе к каждым своим элементом содержит весь класс сопряженных с ним элементов.

1.6.67 Поля, группы, кольца

120 ₽

условие: Пусть \( G \) - абелева группа и \( H \)-подгруппа всех ее элементов конечного порядка. Доказать, что тогда в факторгруппе \( G / H \) все неединичные элементы имеют бесконечный порядок.

1.6.68 Поля, группы, кольца

150 ₽

условие: Доказать, что \( y \) аддитивной группы рациональных чисел нет собственной подгруппы конечного индекса. Указание. Доказательство от противного. Используйте тот факт, что в факторгруппе все элементы в этом случае имеют конечный порядок.

1.6.69 Поля, группы, кольца

170 ₽

условие: конечного порядка, а \( p \)-простой делитель ее порядка. В группе существует элемент порядка \( p \).

1.6.70 Поля, группы, кольца

350 ₽

Условие: Пусть \( G \)-абелева, а \( H \)-некотороая ее подгруппа. Доказать, что \( G / H \)-абелева. Привести пример некомммутативной группы \( A \) и ее нетривиальной нормальной подгруппы \( B \) таких, что \( A / B \) - абелева.

1.6.71 Поля, группы, кольца

150 ₽

условие: Пусть \( \varphi- \) гомоморфизм групп, действующий из \( G \) в \( H \), а \( D- \) подгруппа \( H \). Доказать, что гомоморфный прообраз подгруппы \( D \) является подгруппой \( G \).

1.6.72 Поля, группы, кольца

130 ₽

условие: Пусть \( \varphi- \) неинъективный гомоморфизм \( \mathbb{Z} / 13 \mathbb{Z} \) и некоторой группы \( G \). Доказать, что \( \varphi(x)=e \) для всех \( x \in \mathbb{Z} / 13 \mathbb{Z} \).

1.6.73 Поля, группы, кольца

150 ₽

условие: Найдите НОД гауссовых чисел \( 21+77 i \) и \( -3+39 i \)

1.6.74 Поля, группы, кольца

120 ₽

‹
1
2
...
213
...
246
247
›