MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Найдите закон распределения случайной величины \( \tau=\left|\xi_{1}-\xi_{2}\right| \), если задана таблица распределения дискретного случайного вектора \( \eta=\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)^{T} \) : \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline\( y_{j} \) & -2 & -1 & 3 \\ \( x_{i} \) & & & \\ \hline-2 & 0.1 & 0.15 & 0.2 \\ \hline-1 & 0.15 & 0.25 & 0.15 \\ \hline \end{tabular} Вычислите математическое ожидание и дисперсию \( \tau \).

15.5.11 Двумерные случайные величины и их характеристики

80 ₽

Можно ли составить таблицу распределения случайного вектора \( \eta_{1}=\left(\tau_{1}, \tau_{2}\right)^{T} \), где \( \tau_{1}=2 \xi_{1}-3 \xi_{2}+4, \tau_{2}=\xi_{1}^{\xi_{2}} \), если известна таблица распределения дискретного случайного вектора \( \eta=\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)^{T} \) ? \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline\( y_{j} \) & 0 & 1 & 2 \\ \( x_{i} \) & & & \\ \hline-1 & 0.1 & 0.2 & 0.3 \\ \hline 1 & 0.2 & 0.1 & 0.1 \\ \hline \end{tabular} Найдите, если это возможно при данном комплексе условий, математическое ожидание вектора \( E\left[\eta_{1}\right] \) и ковариационную матрицу \( V_{\eta_{1}} \).

15.5.12 Двумерные случайные величины и их характеристики

200 ₽

Совместное распределение вероятностей изменения доходности двух акций вида ( A ) и ( B ) (случайных величин ( xi_{1} ) и ( xi_{2} ) ) задано следующей таблицей: egin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} hline( y_{j} ) & ( 2 \% ) & ( 6 \% ) & ( 9 \% ) & ( 15 \% ) & ( 20 \% ) \ hline ( 6 \% ) & 0.1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline ( 8 \% ) & 0 & 0.2 & 0 & 0 & 0 \ hline ( 10 \% ) & 0 & 0 & 0.4 & 0 & 0 \ hline ( 12 \% ) & 0 & 0 & 0 & 0.2 & 0 \ hline ( 14 \% ) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.1 \ hline end{tabular} 1. Составьте частные законы распределений для каждого показателя (для случайной величины ( xi_{1} ) и ( xi_{2} ) ). 2. Найдите ожидаемую доходность и риск доходности для каждой ценной бумаги (вычислите математическое ожидание и дисперсию для каждой случайной величины). 3. Коррелируют ли доходности ценных бумаг друг с другом? Какова сила зависимости между ними (вычислите коэффициент корреляции)? 4. Найдите условный ряд распределения для доходности акции типа ( A ) (первой случайной величины ( xi_{1} ) ) при условии, что доходность акции типа ( B ) равна 9\% (случайная величина ( xi_{2}=9 ) ), а затем условный ряд распределения для доходности акции типа ( B ) (случайной величины ( xi_{2} ) ) при условии, что доходность акции типа ( A ) равна ( 14 \% ) (случайная величина ( xi_{1}=14 ) ). Будут ли доходности этих ценных бумаг (случайные величины ( xi_{1} ) и ( xi_{2} ) ) зависимыми?

15.5.13 Двумерные случайные величины и их характеристики

150 ₽

Составляющие двумерного дискретного случайного вектора \( \eta=\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)^{T} \) являются независимыми случайными величинами. Таблицы распределений этих случайных величин следующие: \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline\( x_{i} \) & -2 & 3 \\ \hline\( p_{i} \) & \( 5 / 6 \) & \( 1 / 6 \) \\ \hline \end{tabular} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline\( y_{j} \) & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline\( q_{j} \) & \( 1 / 4 \) & \( 1 / 4 \) & \( 1 / 4 \) & \( 1 / 4 \) \\ \hline \end{tabular} 1. Составьте таблицу распределения случайного вектора \( \eta=\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)^{T} \). 2. Вычислите математическое ожидание этого вектора \( E[\eta] \) и ковариационную матрицу \( V_{\eta} \). 3. Можно ли сразу сказать какими будут все условные ряды распределений каждой случайной величины?

15.5.14 Двумерные случайные величины и их характеристики

200 ₽

Задана таблица распределения двумерного дискретного случайного вектора \( \eta=\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)^{T} \) : \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline\( y_{j} \) & -2 & 0 & 2 \\ \( x_{i} \) & & & \\ \hline-3 & \( 1 / 8 \) & \( \mathrm{c} \) & \( 7 / 24 \) \\ \hline 3 & \( 5 / 24 \) & \( 1 / 6 \) & \( 1 / 8 \) \\ \hline \end{tabular} 1. Найдите константу \( c \) и частные законы распределений случайных величин \( \xi_{1} \) и \( \xi_{2} \). 2. Вычислите математическое ожидание \( E\left[\xi_{1}\right], E\left[\xi_{2}\right] \) и дисперсии \( V\left[\xi_{1}\right], V\left[\xi_{2}\right] \), а так же момент корреляции \( V_{\xi_{1} \xi_{2}} \) и коэффициент корреляции \( \rho_{\xi_{1}} \xi_{2} \) 3. Будут ли случайные величины независимыми? 4. Составьте таблицу распределения нового случайного вектроа \( \eta_{1}= \) \( \left(\tau_{1}, \tau_{2}\right)^{T} \), где \( \tau_{1}=\xi_{1}+\xi_{2}, \tau_{2}==\xi_{1} \xi_{2} \). 5. Найдите \( E\left[\eta_{1}\right] \) и ковариационную матрицу \( V_{\eta_{1}} \).

15.5.15 Двумерные случайные величины и их характеристики

250 ₽

Подбрасывают два тетраэдра с пронумерованными гранями. Пусть \( \xi_{1} \)-это случайная величина, которая принимает значение равное 1 , если сумма очков на нижних гранях тетраэдров является нечетным числом, и значение равное 0, если указанная сумма будет четным числом. Пусть \( \xi_{2} \)-это случайная величина, которая равна 1 , если сумма очков на нижних гранях обоих тетраэдров делится на 4 , и равна 0 в противном с

15.5.16 Двумерные случайные величины и их характеристики

200 ₽

Мяч трижды бросают в баскетбольное кольцо. Вероятность попадания при одном броске равна 0,85. Пусть случайная величина \( \xi_{1}- \) число попаданий, а случайная величина \( \xi_{2}- \) число промахов при трех бросках. 1. Составьте таблицу распределения случайного вектора \( \eta=\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)^{T} \). 2. Вычислите математическое ожидание случайного вектора \( E[\eta] \) и его ковариационную матрицу \( V_{\eta} \). 3. Найдите все усл

15.5.17 Двумерные случайные величины и их характеристики

250 ₽

Случайная величина \( \xi \) распределена по закону Бернулли с параметром \( p=0,65 \). Составьте таблицу распределения случайного вектора \( \eta=\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)^{T} \), где \( \xi_{1}=\xi \), а \( \xi_{2}=\xi^{3} \). 1. Вычислите математичекое ожидание случайного вектора \( E[\eta] \) и его ковариационную матрицу \( V_{\eta} \). 2. Найдите все условные ряды распределения для случайной величины \( \xi_{1} \) при условии, что случайная величина \( \xi_{2}=y_{j

15.5.18 Двумерные случайные величины и их характеристики

120 ₽

Найдите константу c. Вычислите коэффициент корреляции \( \rho_{\xi_{1} \xi_{2}} \) и вероятности следующих случайных событий \( P\left\{\left(\xi_{1}=-2\right),\left(\xi_{2}<0\right)\right\}, P\left\{\xi_{2}>\right. \) \( -1\} \), если таблица распределения двумерного дискретного случайного вектора, составленного из этих величин имеет вид: \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline\( y_{j} \) & -2 & -1 & 3 \\ \( x_{i} \) & & & \\ \hline-2 & 0.1 & 0.15 & \( c \) \\ \hline-1 & 0.15 & 0.25 & 0.15 \\ \hline \end{tabular}

15.5.19 Двумерные случайные величины и их характеристики

120 ₽

Привести к нормальной диагональной форме путем элементарных преобразований следующую матрицу: \[ \left(\begin{array}{ccc} 3 \lambda^{2}-5 \lambda+2 & 0 & 3 \lambda^{2}-6 \lambda+3 \\ 2 \lambda^{2}-3 \lambda+1 & \lambda-1 & 2 \lambda^{2}-4 \lambda+2 \\ 2 \lambda^{2}-2 \lambda & 0 & 2 \lambda^{2}-4 \lambda+2 \end{array}\right) \]

1.1.8 Векторная алгебра

100 ₽

Разложить вектор \( x=(-3,5,9,3) \) на сумму двух векторов, один из которых лежит в оболочке \( \), а другой ортогонален к этой оболочке, если \( a_{1}=(1,1,1,1) \), \( a_{2}=(2,-1,1,1), a_{3}=(2,-7,-1,-1) \).

1.1.9 Векторная алгебра

50 ₽

Вычислить определитель \( \Delta_{n} \) размера \( n \times n \). \[ \Delta_{n}=\left|\begin{array}{ccccc} x & y & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x & y & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ y & 0 & 0 & \cdots & x \end{array}\right| . \]

1.2.10 Вычисление определителей

100 ₽

Вычислить определитель \( \Delta_{n} \) размера \( n \times n \). \[ \Delta_{n}=\left|\begin{array}{ccccc} x+1 & x & x & \cdots & x \\ x & x+2 & x & \cdots & x \\ x & x & x+3 & \cdots & x \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x & x & x & \cdots & x+n \end{array}\right| . \]

1.2.11 Вычисление определителей

200 ₽

Вычислить пределитель порядка \( (n+1) \times(n+1) \). \[ \Delta_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a_{1}+a_{2} & \cdots & a_{1}+a_{n-1} & a_{1}+a_{n} \\ 1 & a_{2}+a_{1} & 0 & \cdots & a_{2}+a_{n-1} & a_{2}+a_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & a_{n-1}+a_{1} & a_{n-1}+a_{2} & \cdots & 0 & a_{n-1}+a_{n} \\ 1 & a_{n}+a_{1} & a_{n}+a_{2} & \cdots & a_{n}+a_{n-1} & 0 \end{array}\right| . \]

1.2.12 Вычисление определителей

250 ₽

Вычислить определитель \( \Delta_{n} \) порядка \( n \times n \). \[ \Delta_{n}=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \cdots & 1 & -n \\ 1 & 1 & \cdots & -n & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & -n & \cdots & 1 & 1 \\ -n & 1 & \cdots & 1 & 1 \end{array}\right| . \]

1.2.13 Вычисление определителей

100 ₽