Векторная алгебра

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: Даны столбцы \( \quad a=(-1 ;-3 ; 5 ;-3)^{T} \quad \) и \( b=(5 ;-4 ; 5 ;-4)^{T} \). Найти столбец \( c \in \mathbb{R}^{4} \), ортогональный \( a \) так, чтобы линейные оболочки \( \langle a, c\rangle \) и \( \langle a, b\rangle \) совпадали.

1.1.31 Векторная алгебра

120 ₽

Условие: Пусть два вектора \( \bar{a}=(2,-3,6) \quad \) и \( \bar{b}=(-1,2,-2) \) отложены от одной точки. Определить координаты вектора \( \bar{c} \), направленного по биссектрисе угла между векторами \( \bar{a} \) и \( \bar{b} \), при условии, что \( |\bar{c}|=3 \sqrt{42} \)

1.1.32 Векторная алгебра

70 ₽

Условие: Пусть \( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} \) векторы единичной длины и пусть \( \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=\overline{0} \). Вычислить сумму скалярных произведений \[ (\bar{a}, \bar{b})+(\bar{b}, \bar{c})+(\bar{c}, \bar{a}) \]

1.1.33 Векторная алгебра

50 ₽

условие: Найти угол между векторами \( \bar{p} \) и \( \bar{q} \), если для некоторых векторов \( \bar{a} \) и \( \bar{b}: \bar{p}=2 \bar{a}+\bar{b} \), \( \bar{q}=\bar{b}-\bar{a} \), причем \( |\bar{a}|=2,|\bar{b}|=3 \) и угол между векторами \( \bar{a} \) и \( \bar{b} \) равен \( \pi / 6 \).

1.1.34 Векторная алгебра

80 ₽

условие: Доказать, что векторы \( l_{1}=(5 ; 3 ;-2) \), \( l_{2}=(-1 ;-2 ; 1), \quad l_{3}=(-2 ;-1 ; 1) \quad \) образуют базис в \( \mathbb{R}^{3} \). Найти координаты вектора \( b=(0 ;-5 ; 3) \) в этом базисе.

1.1.35 Векторная алгебра

100 ₽

условие: Найти длину вектора \( \vec{a} \), если \( \vec{a}=3 \vec{\imath}+2 \vec{\jmath}-5 \vec{k} \).

1.1.36 Векторная алгебра

30 ₽

условие: Найти значения выражений, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений. a) \( (\vec{a}+4 \vec{b})(2 \vec{a}-3 \vec{b}) \), б) \( |(\vec{a}+4 \vec{b})(2 \vec{a}-3 \vec{b})| \), где \( |\vec{a}|=2, \quad|\vec{b}|=4, \quad \angle(\vec{a}, \vec{b})=\frac{\pi}{3} \).

1.1.37 Векторная алгебра

100 ₽

условие: Коллинеарны ли векторы \( \overrightarrow{c_{1}}=2 \vec{a}-8 \vec{b} \) и \( \overrightarrow{c_{2}}=6 \vec{b}-3 \vec{a} \), если \( \vec{a}(-1 ;-2 ; 1) \) и \( \vec{b}(5 ; 1 ;-2) \).

1.1.38 Векторная алгебра

30 ₽

условие: Вычислить координаты точки \( M(x, y, z) \), если ее радиус-вектор составляет с осями \( O Y \) и \( O X \) углы \( 60^{\circ} \) и 45°, а его длина равна 10.

1.1.39 Векторная алгебра

70 ₽

Условие: Даны координаты вершин пирамиды \( A(4,2,3,) ; \quad B(-5 ;-4 ; 2) ; \quad C(5 ; 7 ;-4) \quad \) и \( D(6,4,-7) \). Найти a) объем пирамиды; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра \( A D \) и вершины \( B \) и \( C \); в) косинус угла между ребрами \( D A \) и \( D C \).

1.1.40 Векторная алгебра

100 ₽

Условие: Показать, что векторы \( \vec{a}(1 ;-3 ; 1) \), \( \vec{b}(-2 ;-4 ; 3), \quad \vec{c}(0 ;-2 ; 3) \) образуют базис. Найти разложение вектора \( \vec{d}(-8 ; 10 ; 13) \) по этому базису.

1.1.41 Векторная алгебра

60 ₽

условие: Заданы вектор \( a \) и система векторов \( v \). 1) Найти ранг системы векторов: \( r g(v), 2) \) найти базис системы в \( v, 3) \) найти линейную оболочку \( \mathcal{L}(v), 4) \) выяснить, верно ли что \( a \in \mathcal{L}(v) \), 5) разложить векторы системы \( v \) по базису в \( v \). \[ a=(1 ; 1 ; 1), \quad v=\left(\begin{array}{c} (0 ; 2 ; 1) \\ (1 ; 2 ; 0) \\ (1 ; 0 ;-1) \\ (1 ; 4 ; 1) \end{array}\right) \]

1.1.42 Векторная алгебра

130 ₽

Условие: Доказать, что если \( \alpha[a, b]+\beta[b, c]+ \) \( +\gamma[c, a]=0 \), причем хотя бы одно из чисел \( \alpha, \beta \) и \( \gamma \) отлично от нуля, то векторы \( a, b \) и \( c \) компланарны.

1.1.43 Векторная алгебра

120 ₽

\( \underline{\mathrm{y}_{\mathrm{c} \text { ловие: }}} \) На векторах \( \bar{a}=\{1 ; 1 ; 3\}, \bar{b}=\{1 ; 2 ; 2\}, \bar{c}=\{0 ; 2 ; 1\} \) построен параллелепипед. Вычислить: a) Скалярное произведение векторов \( \bar{a}, \bar{b} \), их длины, а также косинус угла между ними. б) Векторное произведение векторов \( \bar{a}, \bar{b} \), проверив его перпендикулярность каждому из сомножителей с помощью скалярного произведения, площадь образуемой ими грани и синус угла между ними. Последний проверить с помощью осносвного тригонометрического тождества. в) Смешанное произведение векторов \( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} \) через определитель, проверив его с помощью найденного выше векторного произведения, а также объем параллелепипеда и его высоту, опущенную на плоскость грани векторов \( \bar{a}, \bar{b} \).

1.1.44 Векторная алгебра

150 ₽

условие: В прямоугольном базисе \( B=(i, j, k) \) вектор \( a \) имеет разложение \( a=-2 i+j-k \). Убедиться, что тройка векторов \[ i^{\prime}=i, j^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2}} j-\frac{1}{\sqrt{2}} k, \quad k^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2}} j+\frac{1}{\sqrt{2}} k \] также образует прямоугольный базис \( B^{\prime}=\left(i^{\prime}, j^{\prime}, k^{\prime}\right) \), и найти в этом базисе координаты вектора \( a \).

1.1.45 Векторная алгебра

80 ₽

‹
1
2
3
4
5
›