MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: a) Указать два различных базиса пространства \( \mathbb{R}^{4} \). б) Найти ортонормированный базис подпространства решений однородной системы линейных уравнений \( \left\{\begin{array}{c}x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\ -2 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}=0\end{array}\right. \)

1.1.50 Векторная алгебра

100 ₽

Условие: Даны векторы \( \bar{a}=(1,1,-2), \quad \bar{b}=(1,4,1) \), \( \bar{c}=(2,-1,3) \) а) показать, что \( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c}- \) базис пространства \( V^{3} \); б) найти координаты вектора \( \bar{d}=(-2,7,-7) \) в базисе \( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} \); c) найти косинус угла между векторами \( \bar{a} \) и \( \bar{b} \).

1.1.51 Векторная алгебра

100 ₽

условие: Известно, что две стороны треугольника \( A B C \) задаются векторами \( \overline{A B}=2 \bar{p}-\bar{q} \) и \( \overline{A C}=3 \bar{p}+2 \bar{q} \), где \( |\bar{p}|=3,|\bar{q}|=1 \quad \) и \( \quad \) угол между векторами \( \bar{p} \) и \( \bar{q} \) равен \( \pi / 3 \); a) найти скалярное произведение векторов \( \bar{p} \) и \( \bar{q} \); b) выразить вектор \( \overline{B C} \) через векторы \( \bar{p} \) и \( \bar{q} \); c) вычислить длину медианы треугольника \( A B C \), проведенной из вершины \( A \).

1.1.52 Векторная алгебра

80 ₽

условие: Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах \( A B=m+2 n \) и \( A D=m-3 n \), где \( |m|=5,|n|=3 \), угол между \( m \) и \( n \) равен \( \pi / 6 \).

1.1.53 Векторная алгебра

60 ₽

Условие: Найти угол \( C \) в треугольнике \( A B C \), где \( A(2 ; 2 ; 2), \quad B(3 ; 2 ; 2), \quad C(-3 ; 1 ; 2) \). Найти площадь этого треугольника.

1.1.54 Векторная алгебра

50 ₽

Условие: Найти объем пирамиды \( A B C D \), где \( A(1 ; 2 ; 2), B(-3 ; 2 ; 2), C(2 ; 3 ;-1), D(2 ; 7 ; 2) \).

1.1.55 Векторная алгебра

30 ₽

Условие: Даны точки \( A(0,-3,-1), \quad B(2,-1,1) \), \( C(1,0,-3), \quad D(3,3,2) \). Определить: a) единичный вектор, коллинеарный и противоположно направленный вектору \( \overline{A B} \); б) синус угла между векторами \( \overline{A B} \) и \( \overline{A C} \); в) будут ли векторы \( \overline{A B}, \overline{A C} \) и \( \overline{A D} \) компланарны.

1.1.56 Векторная алгебра

100 ₽

условие: Найти произведение матриц \( A B=C \), если \( A, B \) даны: \[ A\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 0 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 10 & 3 \\ -2 & 4 \\ 1 & 8 \end{array}\right) \]

1.4.13 Преобразования матриц

20 ₽

условие: a) Верно ли, что если произведение матриц \( C^{T} \cdot P^{T} \) определено, то определено и произведение матриц \( P \cdot C \), ответ обосновать. б) Привести пример кубических матриц \( A \) и \( B \), для которых \( A \cdot B \neq B^{T} \cdot A^{T} \).

1.4.14 Преобразования матриц

100 ₽

условие: Для матриц \( S=\left(\begin{array}{cc}0 & 2 \\ 3 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right), F=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right) \) : a) найти матрицу \( A \), для которой определено произведение матриц \( S^{T} \cdot A \cdot F \); б) найти произведение матриц \( S^{T} \cdot A \).

1.4.15 Преобразования матриц

80 ₽

Условие: a) Проверить справедливость равенства \( (N \cdot P)^{T}=P^{T} \cdot N^{T} \) для матриц: \[ N=\left(\begin{array}{lll} 0 & -1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{array}\right), P=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \] б) Верно ли, что если произведение матриц \( C \cdot D \) определено, то \( \left(D^{T} \cdot C^{T}\right)^{T}=C \cdot D \), ответ обосновать.

1.4.16 Преобразования матриц

80 ₽

условие: Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей \( A \). Доказать, что это оператор простого типа, привести его матрицу к диагональному виду (найти матрицу перехода к собственному базису и сделать проверку). Вычислить \( A^{n} \) для любого \( n \in \mathbb{N} \). \[ A=\left(\begin{array}{ll} -4 & 5 \\ -1 & 2 \end{array}\right) \]

1.4.17 Преобразования матриц

170 ₽

условие: Для матрицы \( L=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 4 & -1 & 1\end{array}\right) \) проверить: а) является ли матрица \( \frac{1}{2}\left(L-L^{T}\right) \) кососимметрической; б) справедливо ли равенство \( L^{2}=3 \cdot L \).

1.4.18 Преобразования матриц

80 ₽

Пусть линейный оператор ( widehat{A} ) в пространстве ( mathbb{V}_{3} ) геометрических векторов определяется действием отображения ( alpha ) на концы радиусвекторов точек трехмерного пространства. Пусть A - матрица оператора ( widehat{A} ) в каноническом базисе ( i, j, k ). Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы А. Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора ( widehat{A} ). Отображение ( alpha ) есть проектирование на плоскость ( x+y+z=0 ).

1.4.19 Преобразования матриц

150 ₽

В пространстве ( mathbb{V}_{3} ) геометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базиса ( S_{1}=left{e_{1}, e_{2}, e_{3} ight} ) заданы координатами в базисе ( i, j, k ). 1) Найдите матрицу Грама ( G_{1} ) скалярного произведения в этом базисе. Выпишите формулу для длины вектора через его координаты в базисе ( S_{1} ). 2) Ортогонализируйте базис ( S_{1} ). Сделайте проверку ортонормированности построенного базиса ( S_{2} ) двумя способами: a) выписав координаты вектора из ( S_{2} ) в каноническом базисе ( i, j, k ). б) убедившись, что преобразование матрицы Грама при переходе от базиса ( S_{1} ) к базису ( S_{2} ) (по формуле ( G_{2}=P^{T} G_{1} P ), где ( P )-матрица перехода от базиса ( S_{1} ) к базису ( S_{2} ) ) приводит к единичной матрице. ( e_{1}=(1,0,2), quad e_{2}=(2,1,1), quad e_{3}=(1,1,0) ).

1.4.20 Преобразования матриц

250 ₽