Разделы математики
Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: Даны линейные операторы \( \varphi \) и \( \psi \) в пространстве \( V^{3} \). 1. Найти матрицы операторов \( \varphi, \psi \) и \( \varphi \cdot \psi \) в базисе \( i, j, k \). 2. Найти ядро и образ операторов \( \varphi \) и \( \psi \). В случае ненулевого ядра описать их уравнениями. 3. Выяснить, существует ли обратный оператор для \( \varphi \cdot \psi \). Если да, то описать его геометрический смысл; если нет, то указать причину. \( \varphi \)-поворот вокруг оси \( O Z \) на \( 90^{\circ}, \psi \)-ортогональное проектирование на плоскость \( x-y+z=0 \).

1.7.23 Линейные преобразования

350 ₽

Условие: Даны векторы \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \) евклидова пространства \( E_{4} \) с координатами в базисе \( \overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \overrightarrow{a_{3}}, \overrightarrow{a_{4}} \), векторы которого определены относительно некоторого ортонормированного базиса этого пространства. 1) Применяя процесс ортогонализации, ортонормировать базис \( \left\{\overrightarrow{a_{i}}\right\} \) (полученный базис \( -\left\{\overrightarrow{b_{j}}\right\} \) ). 2) Найти матрицу перехода от полученного ортонормированного базиса \( \left\{\overrightarrow{b_{\jmath}}\right\} \) к исходному базису \( \left\{\overrightarrow{a_{l}}\right\},\left(T_{b_{j} \rightarrow a_{i}}\right) \). 3) Найти координаты векторов \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \quad \) в этом ортонормированном базисе. 4) Вычислить скалярное произведение \( (\vec{p}, \vec{q}) \). 5) Вычислить угол между векторами \( \vec{p} \) и \( \vec{q} \). \[ \vec{p}=\left[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right] ; \vec{q}=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 2 \\

1.7.24 Линейные преобразования

400 ₽

Условие: Доказать, что, множество \( M \) образует подпространство в пространстве \( M_{m \times n} \) всех матриц данного размера. Найти размерность и построить базис \( M \). Проверить, что матрица \( B \) принадлежит \( M \) и разложить ее по базису в \( M \). \begin{tabular}{|l|cc|} \hline \( \begin{array}{l}M-\text { множество матриц } \\ \text { указанного вида }\end{array} \) & \multicolumn{2}{|c|}{\( B \)} \\ \hline \( \begin{array}{l}\text { Нижнетреугольные матрицы 3- } \\ \text { го порядка с нулевым следом и } \\ \text { нулевой суммой элементов по } \\ \text { побочной диагонали }\end{array} \) & \( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ -2 & 5 & -3\end{array}\right) \) \\ \hline \end{tabular}

1.9.14 Линейные пространства

250 ₽

Условие: Заданы вектора в линейном пространстве. \[ \begin{array}{l} \overrightarrow{c_{1}}=\left(\begin{array}{c} 3 A \\ 1 \\ B \\ 3 \end{array}\right) ; \overrightarrow{c_{2}}=\left(\begin{array}{c} A \\ 1 \\ -B \\ 2 \end{array}\right) ; \overrightarrow{c_{3}}=\left(\begin{array}{c} A \\ -1 \\ 3 B \\ -1 \end{array}\right) ; \overrightarrow{d_{1}}=\left(\begin{array}{c} 2 A \\ 3 \\ 3 B \\ 2 \end{array}\right) ; \\ \overrightarrow{d_{2}}=\left(\begin{array}{c} 2 A \\ 3 \\ B \\ 1 \end{array}\right) ; \overrightarrow{d_{3}}=\left(\begin{array}{c} B \\ 0 \end{array}\right) . \end{array} \] Пусть \( C \) - линейное пространство, натянутое на первые три вектора, \( D- \) на последние три. Найдите размерность и базисные вектора линейного пространства: а) \( C \); б) \( C+D \); в) \( C \cap D \).

1.9.18 Линейные пространства

250 ₽

Условие: Назавем квадратную матрицу \( C \) порядка \( n \) 'тотально перестановочной', если \( \forall X \) верно: \( C X=X C \), где \( X- \) квадратная матрица порядка \( n \). a) Является ли множество таких матриц линейным пространством? б) Когда Вася сказал такое определение на экзамене, ему сказали, что он не может застолбить определение 'тотально перестановочное' для данных класс матриц, т.к. этот класс уже называется по-другому. Как?

1.9.19 Линейные пространства

130 ₽

условие: Найдите базис и размерность линейного пространства \( L_{1} \), порожденного векторами \( \overline{a_{1}}, \overline{a_{2}}, \ldots \), базис и размерность линейного пространства \( L_{2} \), порожденного векторами \( \overline{b_{1}}, \overline{b_{2}}, \ldots \), а также базис и размерность \( L_{1}+L_{2} \) и размерность \( L_{1} \cap L_{2} \). a) \( \overline{a_{1}}=(-21,2,18), \overline{a_{2}}=(-7,-8,4), \overline{a_{3}}=(8,3,-6) \); \( \overline{b_{1}}=(-5,-1,3), \overline{b_{2}}=(-6,2,0), \overline{b_{3}}=(2,-1,2) \). б) \( \overline{a_{1}}=(27,-10,-14,-2), \overline{a_{2}}=(2,5,-10,-23) \), \( \overline{a_{3}}=(5,-9,4,21), \overline{a_{4}}=(-16,-13,-9,4) \), \( \overline{b_{1}}=(14,14,-16,-18), \overline{b_{2}}=(-8,-10,9,13) \), \( \overline{b_{3}}=(-10,-11,12,14) \).

1.9.20 Линейные пространства

300 ₽