MathProblemsBank - банк математических задач и решений

MathProblemsBank banner

MathProblemsBank banner

Math Problems and solutions

Список задач Бесплатные задачи

Внимание! Если выбран подраздел, то поиск будет произведен в нем!

Условие: Пусть \( I \) - центр вписанной в треугольник \( A B C \) окружности, а \( J \)-центр вневписанной окружности. Докажите, что описанная окружность пересекает \( I J \) в его середине. (Эта точка по традиции Русановского лицея обозначается \( W \), а утверждение - часть леммы о трилистнике.)

5.2.4.40 Разные задачи на плоскости

200 ₽

Условие: В треугольнике \( A B C \) на стороне \( A B \) выбрана точка \( M \), а на стороне \( A C \) точка \( N \). Отрезки \( C M \) и \( B N \) пересекаются в точке \( K \). Чему равна площадь треугольника \( A M N \), если \( B K: K N=9: 4 \), площадь треугольника \( B K C \) равна 6/13, а площадь треугольника \( M K N \) равна \( 36 / 247 ? \)

5.2.4.41 Разные задачи на плоскости

150 ₽

Условие: Биссектрисы внешних углов при вершинах \( A \) и В треугольника \( A B C \) пересекаются в точке \( J \), причем \( A J=B J \). Найдите \( A C \), если \( \angle A B C=\beta \), а радиус окружности, описанной около треугольника \( A B C \), равен \( R \).

5.2.4.42 Разные задачи на плоскости

150 ₽

условие: Дан выпуклый четырехугольник \( A B C D \). Прямые \( A D \) и \( B C \) пересекаются в точке \( N, \mathrm{a} \) прямые \( C D \) и \( A B \) в точке \( M \). Отношение отрезков \( C D \) и \( C M \) равно \( 22: 3 \), площадь треугольника \( A B N \) равна \( 2 / 11 \), а площадь треугольника \( B M N-3 / 11 \). Найти площадь треугольника \( A C D \).

5.2.4.43 Разные задачи на плоскости

150 ₽

условие: В треугольнике \( A B C \) центр окружности, проведенной через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла \( C \). Найдите угол \( C \). (Эта окружность - окружность девяти точек)

5.2.4.44 Разные задачи на плоскости

200 ₽

Условие: На сторонах \( A C \) и \( A B \) треугольника \( A B C \) взяты соответственно точки \( M \) и \( N \) так, что \( A M: M C=9: 1, A N: N B=4: 5 \). Найти отношение \( B O: O M \).

5.2.4.45 Разные задачи на плоскости

130 ₽

Условие: Внутри окружности взята произвольная точка \( M \), отличная от центра окружности. Для каждой хорды окружности, проходящей через \( M \) и отличной от диаметра, обозначим через \( C \) точку пересечения касательных к окружности, проведенных через концы этой хорды. Доказать, что геометрическое место точек \( C \) является прямой.

5.2.5.11 Геометрическое место точек

300 ₽

Условие: В правильной пирамиде \( S A B C D \) боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный \( 45^{\circ} \). На высоте \( S O \) пирамиды взята точка \( K \) - середина \( S O \). Найти угол, который образует прямая \( D K \) с плоскостью \( S A D \).

5.3.2.20 Разные задачи в пространстве

120 ₽

условие: В основании пирамиды лежит квадрат \( A B C D \), a eе боковое ребро \( S B \) перпендикулярно плоскости основания и \( S B=A B . \quad \) На ребре \( S C \) взята точка \( M \) - середина этого ребра. Найти двугранный угол \( S A B M \).

5.3.2.21 Разные задачи в пространстве

80 ₽

условие: B прямоугольнике \( A B C D \quad A B: A D=2: 3 \). Через сторону \( B C \) проведена плоскость \( B C E \), c которой диагональ прямоугольника образует угол, равный \( \alpha \). Найти угол между плоскостями \( B C E \) и \( A B C \) в случаях, когда \( \alpha \) принимает значение \( 30^{\circ} \).

5.3.2.22 Разные задачи в пространстве

100 ₽

условие: В правильной пирамиде \( S A B C D \) двугранный угол при боковом ребре равен \( 120^{\circ} \). На ребрах \( S C \) и \( S D \) взяты соответственно точки \( K \) и \( L \) - середины этих ребер. Найти угол, образуемый прямой \( D K \) с прямой \( A C \).

5.3.2.23 Разные задачи в пространстве

150 ₽

условие: В основании пирамиды \( S A B C D \) лежит квадрат со стороной \( a \), а боковое ребро \( S B \) перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. На ребрах \( S D \) и \( A D \) взяты соответственно точки \( M \) и \( L \) - середины этих ребер. Найти расстояние между прямыми \( M L \) и \( A C \).

5.3.2.24 Разные задачи в пространстве

100 ₽

условие: Осевым сечением конуса является треугольник, угол при вершине которого равен \( \alpha \). Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен \( R \). Найти объем конуса.

5.3.2.25 Разные задачи в пространстве

100 ₽

условие: Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой \( C \) и острым углом \( \alpha \). Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом \( \beta \). Найти объем пирамиды.

5.3.2.26 Разные задачи в пространстве

100 ₽

Условие: Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом \( \alpha \). Каждое боковое ребро равно \( b \) и наклонено к плоскости основания под углом \( \beta \). Найти объем пирамиды.

5.3.2.27 Разные задачи в пространстве

100 ₽

‹
1
2
...
233
...
246
247
›